湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（ ）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＜2}2．（5分）已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=（ ）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（ ）A．31B．32C．63D．644．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A．134B．866C．300D．5005．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞0的解集用区间表示为（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）6．（5分）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（ ）A．10B．30C．45D．210第23页共23页,7．（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A．4πB．8πC．12πD．16π8．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A．450B．460C．495D．5509．（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（ ）A．m=2，n=﹣1B．m=2，n=1C．m=1，n=1D．m=1，n=﹣110．（5分）已知f（x）=cosωx，（ω＞0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（ ）A．1B．2C．D．11．（5分）已知抛物线和圆第23页共23页,，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（ ）A．1B．2C．D．k212．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A．B．3C．D．4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则= ．14．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 ．15．（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为 ．16．（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为 ．4710… a1j…71217… a2j…101724… a3j…………………ai1ai2 ai3… aij………………… 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．第23页共23页,（1）求cos∠BCD的值；（2）求边AC的长．18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）若AB⊥AD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长．19．（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：A服务机构分数的频数分布表分数区间频数[0，10）20[10，20）30[20，30）50[30，40）150[40，50）400[50，60]350定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数[0，30）[30，50）[50，60]满意度指数012第23页共23页,（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．20．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是第23页共23页,（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值． [选修4-5：不等式选讲.]23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|+a，（1）若a=﹣1，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围． 第23页共23页,湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（ ）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＜2}【解答】解：∵B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜2}，故选：A 2．（5分）已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=（ ）A．﹣1B．1C．2D．﹣2【解答】解：由，得2=（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i，∴，即a=1．故选：B． 3．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（ ）A．31B．32C．63D．64【解答】解：设公比为q，因为{an}是递增的等比数列，所以q＞0．an＞an﹣1因为a1+a3=a1+a1q2=5，且a1＞0，a3＞0，又a1a3=a22=4，所以得a1=1，a2=2，a3=4，q=2，则S6=（1﹣q6）=q6﹣1=64﹣1=63．第23页共23页,故选C• 4．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A．134B．866C．300D．500【解答】解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为﹣x，向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，则，解得a=1000（）≈134．故选：A． 5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞0的解集用区间表示为（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，若f（x）＞0，则有x2﹣x＞0，解可得x＞1，即在（1，+∞）上，f（x）＞0，反之在（0，1）上，f（x）＜0，又由函数为奇函数，则在（0，﹣1，）上，f（x）＞0，在（﹣∞第23页共23页,，﹣1）上，f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；故选：D． 6．（5分）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（ ）A．10B．30C．45D．210【解答】解：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10的展开式的通项公式为Tr+1=（x﹣x2）r．对于（x﹣x2）r，通项公式为Tm+1=•xr﹣m．（﹣x2）m，令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．故选：B． 7．（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，AB⊥AC，AA1⊥平面ABC，AA1=2，如图，∴该三棱柱外接球的半径R===，第23页共23页,∴该三棱柱外接球的表面积：S=4πr2=4=12π．故选：C． 8．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A．450B．460C．495D．550【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=[]+[]+[]+…+[]+[]的值，S=[]+[]+[]+…+[]+[]=10×0+10×1+10×2+…+10×9+10=10+20+30+…+90+10=460．故选：B． 9．（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（ ）第23页共23页,A．m=2，n=﹣1B．m=2，n=1C．m=1，n=1D．m=1，n=﹣1【解答】解：根据图象可得f（1）=∈（1，2），当n=﹣1时，不满足，故排除A，D；当m=n=1时，f（x）=，恒成立，故函数f（x）无极值点，故不符合题意，故选：B 10．（5分）已知f（x）=cosωx，（ω＞0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（ ）A．1B．2C．D．【解答】解：f（x）的图象关于（，0）对称，∴cosω=0，∴ω=+kπ，k∈Z，解得ω=+，k∈Z；令kπ≤ωx≤π+kπ，解得≤x≤+，k∈Z；∴f（x）在[0，]上是单调减函数，∵f（x）在（0，）上单调，∴≤，解得ω≤；又∵ω＞0，∴ω=．第23页共23页,故选：D． 11．（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（ ）A．1B．2C．D．k2【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1．由定义得：|AF|=xA+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA，同理：|CD|=xD，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴xAxD=1，则|AB|•|CD|=1．综上所述，|AB|•|CD|=1，故选：A． 12．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A．B．3C．D．4【解答】解：如图，不妨设N在B处，AM=h，CQ=m，第23页共23页,则有MB2=h2+4，BQ2=m2+4，MQ2=（h﹣m）2+4由MB2=，=BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2=0．△=h2﹣8≥0⇒h2≥8该直角三角形斜边MB=．故选：C． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则= 3 ．【解答】解：∵E为等边三角形ABCBC的中点，∴∠BAE=30°，AE=，∴=||||cos30°=2××cos30°=3，故答案为：3． 14．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，第23页共23页,此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4． 15．（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为 ．【解答】解：根据题意，如图：设双曲线E经过的正方形的四个顶点为A、B、C、D，其A在第一象限，双曲线的两个焦点为F1、F2，连接AF1，若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F1F2|=2c，|AF2|=c，则有|AF1|=c，则2a=|AF1|﹣|AF2|=（﹣1）c，则双曲线的离心率e==；故答案为：第23页共23页, 16．（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为 7 ．4710… a1j…71217… a2j…101724… a3j…………………ai1ai2 ai3… aij…………………【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1）第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1）=2ij+i+j，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=112，所以j=，当i=1时，j=37，当i=2时，j=22，当i=4时，j=12，当i=7时，j=7，第23页共23页,当i=12时，j=4，当i=22时，j=2，当i=37时，j=1．∴112在这“等差数阵”中出现的次数为7．故答案为：7． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（1）求cos∠BCD的值；（2）求边AC的长．【解答】解：（1）∵，则：，∴．∴；（2）在△BCD中，，由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=16，即DB=4，∵DB2+CD2=BC2，∴∠BCD=90°，即△ACD为直角三角形，∵A=30°，∴AC=2CD=4． 18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．第23页共23页,（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）若AB⊥AD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长．【解答】证明：（1）因为平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE，平面CBE与平面BDE的交线为BE，所以CB⊥面BDE，又ED⊂面BDE，所以，CB⊥ED，在矩形ADEF中，ED⊥AD，又四边形ABCD为梯形，AB∥CD，所以AD与CB相交，故ED⊥平面ABCD．解：（2）由（1）知，ED垂直DA，ED垂直DC，又AD垂直AB，AB平行CD，所以DC垂直DA，如图，以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系又CB⊥BD，∠CDB=45°，所以DC=2，设DE=a，则B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，a），=（﹣1，﹣1，a），=（﹣1，1，0）设平面BEC的法向量为，则，令x=1，则，所以平面BEC的法向量为，平面ADEF的法向量为，因为平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，第23页共23页,则，即，解得a=1，即AF=DE=1． 19．（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：A服务机构分数的频数分布表分数区间频数[0，10）20[10，20）30[20，30）50[30，40）150[40，50）400[50，60]350定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数[0，30）[30，50）[50，60]满意度指数012（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；第23页共23页,（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．【解答】解：（1）由对B服务机构的频率分布直方图，得：对B服务机构“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，所以，对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数为1000×0.2=200人．（2）设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B2；“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0；“对A服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A1．所以P（B1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（B2）=0.4，由用频率估计概率得：P（A0）=0.1，P（A1）=0.55，因为事件Ai与Bj相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（B1A0+B2A0+B2A1）=0.3，所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率为0.3．第23页共23页,（3）如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B服务机构“满意度指数”X的分布列为：X012P0.20.40.4A服务机构“满意度指数”Y的分布列为：Y012P0.10.550.35因为E（X）=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；E（Y）=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以E（X）＜E（Y），会选择A服务机构． 20．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．【解答】解：（1）由直线l：bx﹣ay=0都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线m为：，A（x1，y1），B（x2，y2）联立：，整理得x2+2tx+2t2﹣8=0，∴x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣8，设直线MA，MB的斜率为kMA，kMB，要证△MEF为等腰三角形，只需kMA+kMB=0，由，第23页共23页,kMA+kMB=，=0，所以△MEF为等腰三角形． 21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．【解答】解：（1），①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞2时，设2ax2﹣2ax+1=0的两个根为，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在（x1，x2）单调递减．（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，由（1）可知a＞2，且．于是：①②由①②得，设，则，因此g（x）在上单调递减，又，根据零点存在定理，故． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]第23页共23页,22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程（本小题满分（10分），第（1）问（5分），第（2）问5分）解：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆的方程，得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|===，4cos2α=1，解得cos，∴或． [选修4-5：不等式选讲.]23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|+a，（1）若a=﹣1，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≥0可化为：|2x+1|﹣|x|﹣1≥0，第23页共23页,∴或或，…（3分）解得：x≤﹣2或x≥0，…（4分）∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．…（5分）（2）由f（x）=2x得：a=2x+|x|﹣|2x+1|，令g（x）=2x+|x|﹣|2x+1|，则：，…（7分）作出函数y=g（x）的图象如图示，易知，结合图象知：当时，函数y=a与y=g（x）的图象有三个不同交点，即方程f（x）=2x有三个不同的解，…（9分）∴a的取值范围为．…（10分） 第23页共23页
