湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于（ ）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}2．（5分）设复数z=1+（其中i为虚数单位），则等于（ ）A．1﹣2iB．1+2iC．﹣2iD．2i3．（5分）下列说法正确的是（ ）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（ ）A．60B．75C．90D．1055．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=1，则||=（ ）A．B．1C．D．27．（5分）函数的图象大致是（ ）A．B．C．第18页共18页,D．8．（5分）已知，则=（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（ ）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．c＜a＜b10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（ ）A．（﹣2，+∞）B．（2，2）C．（﹣∞，2）D．R11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（ ）A．B．C．D．2﹣312．（5分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn=an2+3an，n∈N*，bn=，若∀n∈N*，k＞Tn恒成立，则k的最小值是（ ）A．B．49C．D． 二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13．（5分）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10= ．14．（5分）在△第18页共18页,ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=2sinB，且a+b=c，则角C的大小为 ．15．（5分）已知函数f（x）=若关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 ．16．（5分）已知函数f（x）=﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）=|ex﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为．则实数a= ． 三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）=1，若在线段BC上存在一点D使得AD=2，且AC=，CD=﹣1，求三角形ABC的面积．第18页共18页,20．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值． 第18页共18页,湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于（ ）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}【解答】解：M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|y==∈[0，1]}={y|0≤y≤1}，则M∩N=∅，故选：A． 2．（5分）设复数z=1+（其中i为虚数单位），则等于（ ）A．1﹣2iB．1+2iC．﹣2iD．2i【解答】解：∵z=1+=，∴，故选：B． 3．（5分）下列说法正确的是（ ）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，f（0）=0时，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）=x2，x∈R；第18页共18页,函数f（x）是奇函数时，f（0）不一定=0，如f（x）=，x≠0；是即不充分也不必要条件，A错误；对于B，命题p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；对于C，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴C错误；对于D，若α=，则sinα=的否命题是“若α≠，则sinα≠”，∴D正确．故选：D． 4．（5分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（ ）A．60B．75C．90D．105【解答】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B． 5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，故选：B． 第18页共18页,6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=1，则||=（ ）A．B．1C．D．2【解答】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||=1，∴=||•1•=，∵|2﹣|=1，∴=4﹣4+=4﹣2||+1=1，∴4﹣2||=0，∴||=，故选：A． 7．（5分）函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由题意知当x＞1或x＜﹣1时，y＞0，故排除A、B；又当x→0时，函数的值也趋近于0，故排除C，故选D． 8．（5分）已知，则=（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴===第18页共18页,===，故选：B． 9．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（ ）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．c＜a＜b【解答】解：∵当时，y=sinx单调递增，y=x也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，∴f（2）=f（π﹣2），f（3）=f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D． 10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（ ）A．（﹣2，+∞）B．（2，2）C．（﹣∞，2）D．R【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣x2﹣2014，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，第18页共18页,而f（﹣2）=2018，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2014=0．∴不等式f（x）＜x2+2014，可化为g（x）＜g（﹣2），∴x＞﹣2．即不等式f（x）＞x2+2014的解集为（﹣2，+∞）；故选：A． 11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（ ）A．B．C．D．2﹣3【解答】解：圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1的圆心坐标为（t，t﹣2），半径为1，∴|PC|2=（t+1）2+（t﹣3）2=2t2﹣4t+10，∴|PA|2=|PB|2=|PC|2﹣1=（t+1）2+（t﹣3）2﹣1=2t2﹣4t+9，cos∠APC==，∴cos∠PAB=2cos2∠APC﹣1=2×（）﹣1==∴•=||•||cos∠PAB=（2t2﹣4t+9）•=[（t2﹣2t+5）+（t2﹣2t+4）]•，设t2﹣2t+4=x，则x≥3，则•=f（x）=（x+x+1）•=，第18页共18页,∴f′（x）=＞0恒成立，∴f（x）在[3，+∞）单调递增，∴f（x）min=f（3）=，∴•的最小值为故选：C 12．（5分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn=an2+3an，n∈N*，bn=，若∀n∈N*，k＞Tn恒成立，则k的最小值是（ ）A．B．49C．D．【解答】解：∵6Sn=an2+3an，∴6Sn+1=an+12+3an+1，∴6an+1=（an+1+an）（an+1﹣an）+3（an+1﹣an）∴（an+1+an）（an+1﹣an）=3（an+1+an），∵an＞0，∴an+1+an＞0，∴an+1﹣an=3，又6a1=a12+3a1，a1＞0，∴a1=3．∴{an}是以3为首项，以3为公差的等差数列，∴an=3n，∴bn==（﹣）=（﹣），∴Tn=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜=．∴k≥．第18页共18页,故选C． 二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13．（5分）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10= 19 ．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5=a32，得：5a3=a32，∴a3=0或a3=5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2•a14，∴（a3+2d）2=（a3﹣d）（a3+11d）若a3=0，则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意，若a3=5，则可得（5+2d）2=（5﹣d）（5+11d），解可得d=0（舍）或d=2，∴a10=a3+7d=5+7×2=19，故答案为：19． 14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=2sinB，且a+b=c，则角C的大小为 60° ．【解答】解：∴sinA=2sinB，由正弦定理：可得a=2b．即a2=4b2．∵a+b=c，即3b=c，由余弦定理：2abcosC=a2+b2﹣c2．可得：cosC=．∵0＜C＜π．∴C=60°．故答案为：60°． 第18页共18页,15．（5分）已知函数f（x）=若关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 （2，] ．【解答】解：作函数f（x）=的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]． 16．（5分）已知函数f（x）=﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）=|ex﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为．则实数a= ．【解答】解：∵f（x）=﹣xlnx+ax，∴f'（x）=﹣lnx+a﹣1第18页共18页,∵函数f（x）=﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数∴f'（x）=﹣lnx+a﹣1≥0在（0，e）恒成立∵y=﹣lnx是（0，e）上的减函数∴f'（x）=﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即﹣1+a﹣1≥0∴a≥2∵x∈[0，ln3]，∴ex∈[1，3]∴ex=a时，函数取得最小值为∵x=0时，；x=ln3时，3＞a≥2时，函数g（x）的最大值M=∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为∴3＞a≥2时，∴a=a＞3时，x0＞ln3，此时x在[0，ln3]内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a=不符合a大于3，所以舍去．故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k（Ⅰ）求m的值；第18页共18页,（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，⇒m=0或m=2，当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A=[1，4），当x∈[1，2）时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k），即B=[2﹣k，4﹣k），若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，则，即，解得：0≤k≤1． 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴由正弦定理，可得：，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理可得：cosC===，∴C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=﹣A，∴由正弦定理可得：====第18页共18页,=2sin（A+），∵0＜A＜，＜A+＜，＜sin（A+）≤1，∴从而解得：=2sin（A+）∈（1，2]． 19．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）=1，若在线段BC上存在一点D使得AD=2，且AC=，CD=﹣1，求三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx+1=sin（2ωx）∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为．∴，即T=π那么：T=，可得ω=1那么f（x）=sin（2x）由2x得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间为[：，]，k∈Z．第18页共18页,（Ⅱ）由f（B）=1，即f（B）=sin（2B）=1．∵，＜2B∴：2B=解得：B=．在△ADC中，AD=2，且AC=，CD=﹣1，利余弦定理：cosC==．∵，∴C=．由A+B+C=π，∴A==由正弦定理：，可得AB=2．那么三角形ABC的面积S=AB•ACsinA=． 20．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公式为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得．∴．第18页共18页,（2）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，，n为偶数，．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）==． 21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故ymax=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故ymax=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，综上所述，ymax=第18页共18页, 22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴f′（x）=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx﹣1）max=﹣2．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）a=1时，f（x）=x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，∴k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）．则h′（x）=1﹣=＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单增，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，存在x0∈（3，4），使h（x0）=0．即当1＜x＜x0时h（x）＜0即g′（x）＜0x＞x0时h（x）＞0即g′（x）＞0g（x）在（1，x0）上单减，在（x0+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4）．k＜g（x）min=x0∈（3，4），且k∈Z，∴kmax=3． 第18页共18页
