上海市闵行区高考数学一模试卷 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M= ．2．（4分）计算= ．3．（4分）方程的根是 ．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则= ．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是 ．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为 （用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009= ．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是 ．第19页共19页,11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是 ．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（ ）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）A．ad＞bcB．ad＜bcC．ac＞bdD．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（ ）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：第19页共19页,①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（ ）A．①②B．③④C．②③D．②④ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．第19页共19页,（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域． 第19页共19页,上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M= {0，1，2} ．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}． 2．（4分）计算= ．【解答】解：===，故答案为：． 3．（4分）方程的根是 10 ．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴lgx=1，∴x=10．故答案为：10． 4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则= ．第19页共19页,【解答】解：∵是纯虚数，∴，得sin且cos，∴α为第二象限角，则cos．∴=sinαcos+cosαsin=．故答案为：﹣． 5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是 ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：． 6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 96 （用数字作答）【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种；故答案为：96． 7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为 40 （用数字作答）【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r，今r=2，第19页共19页,∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系数是40 8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是 arccos （结果用反三角函数表示）【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC∥B1C1，∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B===5，A1C===，∴cos∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos．∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．故答案为：arccos． 第19页共19页,9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009= 2018 ．【解答】解：数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t．∴=常数et=q＞0，因此数列{an}为等比数列．且，∴a1a1009=a2a1008==…．则b1+b2+…+b1009=ln（a1a2…a1009）==lne2018=2018．故答案为：2018． 10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是 ．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），，，．∵，∴，sinθ=．∴，∴λμ=﹣+=+，故答案为：第19页共19页, 11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是 y=±x ．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°，可得m=2n，则m﹣n=2a=n，即a=n，2c=n，即c=n，b==n，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x，故答案为：y=±x． 12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是 （﹣，﹣2） ．【解答】第19页共19页,解：以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，∴B（﹣2.0），C（2，0），A（﹣4，2），D（4，2），∵E、F分别是AB、CD的中点，∴E（﹣3，），F（3，），设P（x，y），﹣4≤x≤4，0≤y≤2，∵，∴（﹣3﹣x，﹣y）（3﹣x，﹣y）=x2+（y﹣）+9=k，即x2+（y﹣）﹣9=k+9，当k+9＞0时，点P的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r==，此时点P有4个，∵满足条件的点P至少有4个，结合图象可得，∴＜k+9＜7，解得﹣＜k＜﹣2，故实数k的取值范围为（﹣，﹣2），故答案为：（﹣，﹣2） 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）第19页共19页,13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（ ）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直【解答】解：∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，∴l1⊥l3，故选：A． 14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）A．ad＞bcB．ad＜bcC．ac＞bdD．ac＜bd【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．故选：D． 15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（ ）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【解答】解：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn=na1+d，则Sn+1=（n+1）a1+，则Sn+1﹣Sn=（n+1）a1+﹣na1﹣d=a1+nd，若{Sn}为递增数列，a1+nd＞0，∵S2﹣S1=a1+d＞0，∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0但a1+d能推出a1+nd，第19页共19页,故a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列必要非充分，故选：B 16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（ ）A．①②B．③④C．②③D．②④【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，单调递减，当﹣1＜x＜1时，f（x）=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，单调递增，∴f（x）=22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴当x=1时，取最大值为1，∴绘出f（x）的图象，如图：①当n=0时，f（x）=，由函数图象可知：要使f（x）的值域是[﹣1，1]，则m∈（1，2]；故①错误；②当时，f（x）=，f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，第19页共19页,∴；故②正确；③当时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，故选C． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．【解答】解：（1）函数=sin（ωx），∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω=那么：，由，k∈Z，得：∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；第19页共19页,（2）函数=sin（ωx），∵ω=2∴f（x）=sin（2x），，可得sin（2α）=∵0＜α＜π，∴≤（2α）≤2α=或解得：α=或α=． 18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．【解答】解：（1）∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．∴r==2，l===4，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．（2）过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，∴PE=PO=，CE==，∴∠PCE是直线PC与底面所成角，∵PE=CE，PE⊥CE，∴，第19页共19页,∴直线PC与底面所成的角为． 19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【解答】解：（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=．∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x≤30，则×0.05＞300000，解得x＞log1.1591≈32.3（舍）．②若x＞30，则[+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，解得x＞32.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余． 第19页共19页,20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．【解答】（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），则，p=2，∴Γ的方程为y2=4x；（2）解：设直线l：x=my+2，联立，得y2﹣4my﹣8=0．则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴==，即△OAB的面积的最小值为；（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx﹣5k﹣2．联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．，．=．第19页共19页,===．∵C（1，2），∴，，则=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4=，当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，联立，可得A（5，﹣），B（5，2），，，有，∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|． 21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈第19页共19页,[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．【解答】解：（1）由f（x）=x2﹣2，可得f（ax+b）=（ax+b）2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，由f（x）=f（ax+b），得x2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，则，∵a≠0，且a=1，b=0不同时成立，∴a=﹣1，b=0．∴函数f（x）=x2﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；（2）∵函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，∴f（x）=f（2x+1），则f（0）=f（1）=f（3），f（1）=f（3）=f（7），∴f（0）=f（3），f（1）=f（7），而当x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴x∈[3，7）时，设f（x）=2sx+t，由，解得s=，t=﹣．∴x∈[3，7）时，f（x）=．令y=（3≤x＜7），得，∴x=（1≤y＜2），∴函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数为y=（1≤x＜2）；（3）由（2）可知，构造数列{an}，满足a1=0，an+1=2an+1，则an+1+1=2（an+1），∴数列{an+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，即．第19页共19页,当x∈[an，an+1）=[2n﹣1﹣1，2n﹣1）．令，解得s=21﹣n，t=21﹣n﹣1．∴x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式为f（x）=．当x∈[0，+∞）时，函数f（x）的值域为[1，2）． 第19页共19页
