上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B= ．2．（4分）不等式的解集为 ．3．（4分）已知，则= ．4．（4分）= ．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为 ．6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为 ．7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则= ．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B= ．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 ．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为 ．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn= ．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞第17页共17页,0”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（ ）A．B．C．1D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（ ）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）第17页共17页,18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{an}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，试确定b1第17页共17页,的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}． 第17页共17页,上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B= {2，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}． 2．（4分）不等式的解集为 （﹣1，0] ．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]． 3．（4分）已知，则= ．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣ 4．（4分）= ．【解答】解：==，第17页共17页,∴=，故答案为：． 5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为 ．【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：． 6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为 4 ．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+logax，∴2=1+loga4，即a=4．故答案为：4． 7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则= 18 ．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{an}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18． 第17页共17页,8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B= ．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：． 9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 1120 ．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120． 10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为 ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．第17页共17页, 11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn= ﹣1+ ．【解答】解：∵2Sn=an•an+1（n∈N*）．当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1•an，∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an（an+1﹣an﹣1），∵a1=1，∴an≠0∴an+1﹣an﹣1=2，∴（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）=2，∴an﹣an﹣1=1，∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=1+（n﹣1）=n，∴bn=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{bn}的前n项和Tn=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，Tn=﹣1+，当n为奇数时，Tn=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述Tn=﹣1+，故答案为：﹣1+． 12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为 2﹣4 ．第17页共17页,【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A． 14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2第17页共17页,在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D． 15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则第17页共17页,的值为（ ）A．B．C．1D．【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B． 16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（ ）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推第17页共17页,∴f的n阶根的个数是2n．故选C． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S正方体ABCD=AB×BC=3×3=9，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．第17页共17页, 18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1． 19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．第17页共17页,【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过． 20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2第17页共17页,y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故． 21．（18分）已知数列{an}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*第17页共17页,∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{an}的通项公式；（2）由（1）可得，∵，∴（4n﹣3）Sn+1=（4n+1）Sn+16n2﹣8n﹣3，∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴Sn=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为bn=4b1+8n﹣11，若数列{bn}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴bn=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{bn}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{cn}的公比q=4m（m∈N*），则cn=c1qn﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，第17页共17页,因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{cn}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故cn=5•（4m+1）n﹣1，由4kn﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，kn=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），而当n≥2时，kn﹣kn﹣1=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，即kn=kn﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以kn也都是正整数，所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{cn}有无数个．…（16分） 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