2021年四川省成都市中考数学试卷A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）（2021•成都）的倒数是 A．B．C．D．72．（3分）（2021•成都）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是 A．B．C．D．3．（3分）（2021•成都）2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据3亿用科学记数法表示为 A．B．C．D．4．（3分）（2021•成都）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 A．B．C．D．第47页（共47页）\n5．（3分）（2021•成都）下列计算正确的是 A．B．C．D．6．（3分）（2021•成都）如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定的是 A．B．C．D．7．（3分）（2021•成都）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是 A．34B．35C．36D．408．（3分）（2021•成都）分式方程的解为 A．B．C．D．9．（3分）（2021•成都）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为 第47页（共47页）\nA．B．C．D．10．（3分）（2021•成都）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）（2021•成都）因式分解： ．12．（4分）（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为 ．13．（4分）（2021•成都）在平面直角坐标系中，若抛物线与轴只有一个交点，则 ．第47页（共47页）\n14．（4分）（2021•成都）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（2021•成都）（1）计算：．（2）解不等式组：．16．（6分）（2021•成都）先化简，再求值：，其中．17．（8分）（2021•成都）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．课程人数篮球足球21排球30第47页（共47页）\n乒乓球根据图表信息，解答下列问题：（1）分别求出表中，的值；（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．18．（8分）（2021•成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距3.5米的测点处安置测倾器，测得点的仰角（点，与在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据，，19．（10分）（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．第47页（共47页）\n（1）求反比例函数的表达式；（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．20．（10分）（2021•成都）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，的面积为，求的长；（3）在（2）的条件下，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）（2021•成都）在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限．第47页（共47页）\n22．（4分）（2021•成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．23．（4分）（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为 ．24．（4分）（2021•成都）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，则线段的长为 ；第二步，分别在，上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，则线段的长为 ．25．（4分）（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为，从1，2，3，4中任取一个数作为，则对任意正整数第47页（共47页）\n，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）26．（8分）（2021•成都）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个型和10个型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设型、型点位共5个，试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾？27．（10分）（2021•成都）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．第47页（共47页）\n28．（12分）（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．第47页（共47页）\n2021年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）（2021•成都）的倒数是 A．B．C．D．7【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．【解答】解：，的倒数是：．故选：．【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．2．（3分）（2021•成都）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是 A．B．C．D．第47页（共47页）\n【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐．故选：．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）（2021•成都）2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据3亿用科学记数法表示为 A．B．C．D．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：3亿．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．4．（3分）（2021•成都）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 A．B．C．D．【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是．故选：．【点评】此题主要考查了关于第47页（共47页）\n轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．5．（3分）（2021•成都）下列计算正确的是 A．B．C．D．【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：，故本选项不合题意；．，故本选项符合题意；．，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；故选：．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．6．（3分）（2021•成都）如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定的是 A．B．C．D．【分析】由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．第47页（共47页）\n【解答】解：由四边形是菱形可得：，，、添加，可用证明，故不符合题意；、添加，可用证明，故不符合题意；、添加，不能证明，故符合题意；、添加，可用证明，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．7．（3分）（2021•成都）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是 A．34B．35C．36D．40【分析】把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40，中位数为．故选：．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．8．（3分）（2021•成都）分式方程的解为 A．B．C．D．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到第47页（共47页）\n的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：，去分母得：，解得：，检验：当时，，分式方程的解为．故选：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9．（3分）（2021•成都）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为 A．B．C．D．【分析】设甲需持钱，乙持钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得．【解答】解：设甲需持钱，乙持钱，第47页（共47页）\n根据题意，得：，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．10．（3分）（2021•成都）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 A．B．C．D．【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：正六边形的外角和为，每一个外角的度数为，正六边形的每个内角为，正六边形的边长为6，，故选：．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．第47页（共47页）\n第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）（2021•成都）因式分解： ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：．故答案为：．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．12．（4分）（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为 100 ．【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母所代表的正方形的面积．【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，一直角边的平方，则斜边的平方．故答案为100．【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．13．（4分）（2021•成都）在平面直角坐标系中，若抛物线与轴只有一个交点，则 1 ．【分析】由题意得：△，即可求解．第47页（共47页）\n【解答】解：由题意得：△，解得，故答案为1．【点评】本题考查的是抛物线和轴的交点，△时，抛物线与轴有2个交点，△时，抛物线与轴有1个交点，△时，抛物线与轴没有交点．14．（4分）（2021•成都）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为 ．【分析】由题目作图知，是的平分线，则，进而求解．【解答】解：过点作，则，由题目作图知，是的平分线，则，为等腰直角三角形，故，则为等腰直角三角形，故，第47页（共47页）\n则,故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（2021•成都）（1）计算：．（2）解不等式组：．【分析】（1）原式第一项开平方化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，然后计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）原式；（2）由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．【点评】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握零指数幂、三角函数值、绝对值的性质及不等式的性质．16．（6分）（2021•成都）先化简，再求值：，其中．第47页（共47页）\n【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．17．（8分）（2021•成都）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．课程人数篮球足球21排球30乒乓球根据图表信息，解答下列问题：（1）分别求出表中，的值；（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．第47页（共47页）\n【分析】（1）根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出、的值；（2）用乘以样本中“足球”所占的百分比即可；（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）（人，即参加这次调查的学生有120人，选择篮球的学生，选择乒乓球的学生；（2），即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是；（3）（人，答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．【点评】本题考查统计表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第47页（共47页）\n18．（8分）（2021•成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距3.5米的测点处安置测倾器，测得点的仰角（点，与在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据，，【分析】设米，，故米，则，进而求解．【解答】解：延长交于点，，设米，，故米，在中，，解得，则（米，第47页（共47页）\n电池板离地面的高度的长约为8米．【点评】本题是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．19．（10分）（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．【分析】（1）根据一次函数的图象经过点，求出点的坐标，再代入，即可求得答案；（2）过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据是以为底边的等腰三角形，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点的坐标．【解答】（1）一次函数的图象经过点，，第47页（共47页）\n解得：，，将代入，得：，，反比例函数的表达式为；（2）如图，过点作轴于点，在中，令，得，解得：，，，，是以为底边的等腰三角形，，，，，设直线的函数表达式为，，，第47页（共47页）\n，解得：，直线的函数表达式为，联立方程组：，解得：（舍去），，点的坐标为．【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图像的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键．20．（10分）（2021•成都）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；第47页（共47页）\n（2）若的半径为，的面积为，求的长；（3）在（2）的条件下，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．【分析】（1）连接,由为的直径，可得，再证明,结合已知，可得，从而证明是的切线；（2）过作于,过作于,由的面积为,可得，由得，可解得，根据，可得，再由,得即，解，故；（3）过作于,过作于,连接,由，，可得,而，故，,中，，可得，设,则,则,可解得,,从而．【解答】（1）证明：连接,如图：第47页（共47页）\n为的直径，，，,,又，，即，,是的切线；（2）过作于,过作于,如图：的半径为，，的面积为,，即，第47页（共47页）\n，中，,中，,,,即,,解得，已舍去），,,,而，,,，，,,,,即，解得，；方法二：过作于,连接,如图：第47页（共47页）\n的半径为，，的面积为,，即，，中，，，,,,即，；（3）过作于,过作于,连接,如图：，，第47页（共47页）\n,，，由（2）知，，，,中，，，设,则,由可得：，,解得：,,,．【点评】本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）（2021•成都）在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 一 象限．第47页（共47页）\n【分析】因为在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，所以，所以点在第一象限．【解答】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，，点在第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．22．（4分）（2021•成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：是一元二次方程的根，，，、是一元二次方程的两个根，，．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．第47页（共47页）\n23．（4分）（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为 ．【分析】设直线交轴于，过作于，先求出、坐标，得到、长度，可得，中求出长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线交轴于，过作于，如图：在中，令得,,,在中令得,解得,,,中，,第47页（共47页）\n，中，，，，，故答案为：．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用得到．24．（4分）（2021•成都）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，则线段的长为 1 ；第二步，分别在，上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，则线段的长为 ．【分析】如图，过点作于,则四边形是矩形，连接,,设交于．证明,求出,,设,根据,可得,解方程求出,可得结论．【解答】解：如图，过点作于,则四边形是矩形，连接,,设第47页（共47页）\n交于．四边形是矩形，,,四边形是矩形，,,,,,,,,,,,,,设,垂直平分线段,,第47页（共47页）\n,,,,故答案为：1，．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．25．（4分）（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为，从1，2，3，4中任取一个数作为，则对任意正整数，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．【分析】先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为，再画树状图展示所有12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为第47页（共47页）\n，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）26．（8分）（2021•成都）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个型和10个型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设型、型点位共5个，试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾？【分析】（1）每个型点位每天处理生活垃圾吨，根据“每天需要处理生活垃圾920第47页（共47页）\n吨，刚好被12个型和10个型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；（2）设需要增设个型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个型点位每天处理生活垃圾37吨，每个型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：，可解得的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．【解答】解：（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨，则每个型点位每天处理生活垃圾吨，根据题意可得：，解得：，答：每个型点位每天处理生活垃圾38吨；（2）设需要增设个型点位才能当日处理完所有生活垃圾，由（1）可知：《条例》施行前，每个型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个型点位每天处理生活垃圾（吨，《条例》施行前，每个型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个型点位每天处理生活垃圾（吨，根据题意可得：，解得，是正整数，符合条件的的最小值为3，答：至少需要增设3个型点位才能当日处理完所有生活垃圾．第47页（共47页）\n【点评】本题考查一次方程及一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系或不等关系，列方程或不等式．27．（10分）（2021•成都）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出，再在△中，求出，从而可得；（2）过作交于,过作于,先证明,再根据,求出，进而可得和及,由得,即可得；（3）过作交延长线于,连接,先证明，得,再证明△得,是△的中位线，,要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，即可得最小值为．第47页（共47页）\n【解答】解：（1）,，，，，绕点顺时针旋转得到△，点落在的延长线上,，，△中，，；（2）过作交于,过作于,如图：绕点顺时针旋转得到△，,，,,,，中，,，，，，中，，同理，第47页（共47页）\n，，,,，；（3）存在最小值1，理由如下：过作交延长线于,连接，如图：绕点顺时针旋转得到△，,，,,而,,,，,,第47页（共47页）\n,,在和△中，,△,,即是中点，点为的中点，是△的中位线，,要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，最小为．【点评】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．28．（12分）（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；第47页（共47页）\n（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．【分析】（1）由抛物线，顶点的坐标为，可得,,又的图象过，即可解得,从而得到抛物线表达为；（2）在中，令得,可得或,分两种情况分别求，①当时，过作交抛物线于，此时，先求出直线解析式为,再求得直线解析式为,由得；②当时，过作轴于,过作轴于，作关于的对称点，作直线交抛物线于,由,,可知,而关于的对称点,有,故,是满足条件的点，设,根据，，可得,解得,,从而求得直线解析式为,再解得；第47页（共47页）\n（3）设交轴于，过作轴于，过作于，证明,可得,即，,故,设直线解析式为,将代入得,可得直线解析式为，由得,解得点的横坐标为；当时，,可知时，最小值是12，故当时，点的横坐标的取值范围是．【解答】解：（1）抛物线，顶点的坐标为，,,即抛物线为,抛物线经过，即的图象过，,解得,抛物线表达为；（2）在中，令得,解得或,或,①当时，过作交抛物线于，此时，如图：第47页（共47页）\n在中，令,得，解得或,,设直线解析式为,将、代入得：,解得,直线解析式为,,设直线解析式为,将代入得,直线解析式为,由得（此时为点，舍去）或,；②当时，过作轴于,过作轴于，作关于的对称点第47页（共47页）\n，作直线交抛物线于,连接,如图：,,，，中，,,,,,中，,,关于的对称点,,,即是满足条件的点，设,关于的对称点,，，第47页（共47页）\n,两式相减变形可得,代入即可解得(此时为，舍去）或,,,设直线解析式为,将,,代入得；,解得,直线解析式为,解得或（此时为,舍去），,综上所述，坐标为或；（3）设交轴于，过作轴于，过作于,如图：第47页（共47页）\n点的横坐标为，,又，,,,,,且，,,即,,,设直线解析式为,将代入得,,直线解析式为，由得,第47页（共47页）\n解得的横坐标）,,点的横坐标为；当时，,时，最小值是12，此时,当时，点的横坐标的取值范围是．【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．第47页（共47页）
