2019年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡1．（3分）比﹣3大5的数是（ ）A．﹣15B．﹣8C．2D．82．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）A．B．C．D．3．（3分）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为（ ）A．5500×104B．55×106C．5.5×107D．5.5×1084．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）A．（2，3）B．（﹣6，3）C．（﹣2，7）D．（﹣2．﹣1）5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）A．10°B．15°C．20°D．30°6．（3分）下列计算正确的是（ ）A．5ab﹣3a＝2bB．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．2a2b÷b＝2a27．（3分）分式方程x−5x−1+2x=1的解为（ ）\nA．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣28．（3分）某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（ ）A．42件B．45件C．46件D．50件9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）A．30°B．36°C．60°D．72°10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）A．c＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．图象的对称轴是直线x＝3二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 ．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．\n13．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上15．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°−16+|1−3|．（2）解不等式组：3(x−2)≤4x−5，①5x−24＜1+12x．②16．（6分）先化简，再求值：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=2+1．17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．\n根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．\n（1）求证：AC=CD；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）估算：37.7≈ （结果精确到1）22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ．23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为57，则盒子中原有的白球的个数为 24．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为152，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为 ．\n二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=12x+12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB=34，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．\n28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．\n2019年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡1．（3分）比﹣3大5的数是（ ）A．﹣15B．﹣8C．2D．8【解答】解：﹣3+5＝2．故选：C．2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）A．B．C．D．【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：故选：B．3．（3分）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为（ ）A．5500×104B．55×106C．5.5×107D．5.5×108【解答】解：科学记数法表示：5500万＝55000000＝5.5×107故选：C．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）A．（2，3）B．（﹣6，3）C．（﹣2，7）D．（﹣2．﹣1）\n【解答】解：点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（2，3）．故选：A．5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）A．10°B．15°C．20°D．30°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC＝30°，又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故选：B．6．（3分）下列计算正确的是（ ）A．5ab﹣3a＝2bB．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．2a2b÷b＝2a2【解答】解：A选项，5ab与3b不属于同类项，不能合并，选项错误，B选项，积的乘方（﹣3a2b）2＝（﹣3）2a4b2＝9a4b2，选项错误，C选项，完全平方公式（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，选项错误D选项，单项式除法，计算正确故选：D．7．（3分）分式方程x−5x−1+2x=1的解为（ ）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣2【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），解得x＝﹣1，\n把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，故x＝﹣1是原方程的解．故选：A．8．（3分）某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（ ）A．42件B．45件C．46件D．50件【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50，∴中位数为46，故选：C．9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）A．30°B．36°C．60°D．72°【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5=72°，∴∠CPD=12∠COD＝36°，故选：B．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）\nA．c＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．图象的对称轴是直线x＝3【解答】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故C错误；D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x=1+52=3，故D正确．故选：D．二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 1 ．【解答】解：根据题意得：m+1﹣2＝0，解得：m＝1，故答案为：1．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 9 ．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，\n在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAEAB=AC∠B=∠C，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝9，故答案为：9．13．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ．【解答】解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，∴k﹣3＜0，∴k＜3；故答案为k＜3；14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 4 ．【解答】解：由作法得∠COE＝∠OAB，∴OE∥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OA，∴CE＝BE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE=12AB=12×8＝4．故答案为4．三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上\n15．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°−16+|1−3|．（2）解不等式组：3(x−2)≤4x−5，①5x−24＜1+12x．②【解答】解：（1）原式＝1﹣2×32−4+3−1，＝1−3−4+3−1，＝﹣4．（2）3(x−2)≤4x−5，①5x−24＜1+12x．②由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2，所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．16．（6分）先化简，再求值：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=2+1．【解答】解：原式=(x+3x+3−4x+3)×2(x+3)(x−1)2=x−1x+3×2(x+3)(x−1)2=2x−1将x=2+1代入原式=22+1−1=217．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：\n（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90，在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36，补全的条形统计图如右图所示；（2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360°×1290=48°，即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；（3）2100×2490=560（人），答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人．18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【解答】解：作CE⊥AB于E，\n则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．【解答】解：（1）由y=12x+5y=−2x得x=−2y=4，∴A（﹣2，4），\n∵反比例函数y=kx的图象经过点A，∴k＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数的表达式是y=−8x；（2）解y=−8xy=12x+5得x=−2y=4或x=−8y=1，∴B（﹣8，1），由直线AB的解析式为y=12x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），∴S△AOB=12×10×4−12×10×1＝15．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：AC=CD；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．【解答】证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴AC=CD（2）连接AC，\n∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵AC=CD∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB∴△ACE∽△BCA∴ACCE=CBAC∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB=AC2+BC2=25∴⊙O的半径为5（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB\n∴PAPC=PCPB=ACBC=24=12∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+25）∴PA=253∴PO=553∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴ACOH=BCPH=ABPO即2OH=4PH=25553=65∴PH=103，OH=53∴HQ=OQ2−OH2=253∴PQ＝PH+HQ=10+253一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）估算：37.7≈ 6 （结果精确到1）【解答】解：∵36＜37.7＜49，∴6＜37.7＜7，∴37.7≈6．故答案为：622．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为 ﹣2 ．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，\nk＝﹣2，故答案为：﹣2．23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为57，则盒子中原有的白球的个数为 20 【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为x个，根据题意得：x+510+x+5=57，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解；∴盒子中原有的白球的个数为20个．故答案为：20；24．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 3 ．【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C=33，A′C=233，∴A'C+B'C的最小值为3，故答案为：3．\n25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为152，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为 4或5或6 ．【解答】解：设B（m，n），∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵△OAB的面积=12×5•n=152，∴n＝3，结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）当2＜m＜3时，有6个整数点；当3＜m＜92时，有5个整数点；当m＝3时，有4个整数点；可知有6个或5个或4个整数点；故答案为4或5或6；二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；\n（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=12x+12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解答】解：（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，k+b=70005k+b=5000，解得，k=−500b=7500，∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500；（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w＝yp＝（﹣500x+7500）（12x+12），即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，∴当x＝7时，w有最大值为16000，此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB=34，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．\n【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE．（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k×34=3k，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴202＝（3k）2+（4k）2，∴k＝4或﹣4（舍弃），∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2•4k＝32，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，\n∴ABCB=DBAB，∴DB=AB2CB=20232=252，∵DE∥AB，∴AEAC=BDBC，∴AE=AC⋅BDBC=20×25232=12516．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC=12×32＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=AB2−BM2=202−162=12，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴ANAM=AFAD=tan∠ADF＝tanB=34，∴AN=34AM=34×12＝9，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，\n当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【解答】解：（1）由题意得：4a−2b+c=5，a−b+c=09a+3b+c=0，解得a=1b=−2c=−3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，\n由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H=C'B2−BH2=42−22=23，∴点C′的坐标为（1，23），tan∠C'BH=C'HBH=232=3，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH=12∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°=233，∴点D的坐标为（1，233）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．\n∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则0=−k+b233=k+b，解得k=33b=33，∴直线BP的函数表达式为y=33x+33．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，\n∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴∠CC'Q=12∠CC'B=30°．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×33=33，∴点E的坐标为（0，−33）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则0=−m+n−33=n，解得m=−33n=−33，∴直线BP的函数表达式为y=−33x−33．综上所述，直线BP的函数表达式为y=33x+33或y=−33x−33．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/309:55:58；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521
