2021年上海市中考数学试卷一.选择题1．（2021•上海）下列实数中，有理数是 A．B．C．D．2．（2021•上海）下列单项式中，的同类项是 A．B．C．D．3．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是 A．开口方向不变B．对称轴不变C．随的变化情况不变D．与轴的交点不变4．（2021•上海）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适 A．包B．包C．包D．包5．（2021•上海）如图，在平行四边形中，已知，，为中点，则 第29页（共29页）\nA．B．C．D．6．（2021•上海）如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是 A．点在圆外，点在圆内B．点在圆外，点在圆外C．点在圆上，点在圆内D．点在圆内，点在圆外二.填空题7．（2021•上海）计算： ．8．（2021•上海）已知，那么 ．9．（2021•上海）已知，则 ．10．（2021•上海）不等式的解集是 ．11．（2021•上海）的余角是 ．12．（2021•上海）若一元二次方程无解，则的取值范围为 ．13．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 ．第29页（共29页）\n14．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 ．15．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 元．16．（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则 ．17．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．18．（2021•上海）定义：平面上一点到图形最短距离为，如图，，正方形边长为2，为正方形中心，当正方形绕旋转时，则的取值范围为 ．第29页（共29页）\n三.解答题19．（2021•上海）计算：．20．（2021•上海）解方程组：．21．（2021•上海）如图，已知中，，，，，为边上的中线．（1）求的长；（2）求的值．22．（2021•上海）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度．第29页（共29页）\n24．（2021•上海）已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形．①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；②若在抛物线上，求的坐标．25．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．（1）当点在上，①求证：；②若，求的值；（2）若，，求的长．第29页（共29页）\n第29页（共29页）\n2021年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1．（2021•上海）下列实数中，有理数是 A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：，不是有理数，不合题意；，不是有理数，不合题意；，是有理数，符合题意；，不是有理数，不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（2021•上海）下列单项式中，的同类项是 A．B．C．D．【分析】依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可．【解答】解：、字母、的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；、字母的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；、相同字母的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：．第29页（共29页）\n【点评】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．3．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是 A．开口方向不变B．对称轴不变C．随的变化情况不变D．与轴的交点不变【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变．【解答】解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意．、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的性质不变，自变量不变，则随的变化情况不变，故不符合题意．、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．4．（2021•上海）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适 第29页（共29页）\nA．包B．包C．包D．包【分析】最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．【解答】解：由图知这组数据的众数为，取其组中值，故选：．【点评】本题主要考查频数（率分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．5．（2021•上海）如图，在平行四边形中，已知，，为中点，则 A．B．C．D．【分析】根据相等向量的几何意义和三角形法则解答．【解答】解：，第29页（共29页）\n，四边形是平行四边形，，，故选：．【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．6．（2021•上海）如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是 A．点在圆外，点在圆内B．点在圆外，点在圆外C．点在圆上，点在圆内D．点在圆内，点在圆外【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆的半径为，则：，，圆半径为1，，即圆的半径等于5，第29页（共29页）\n，，由勾股定理可知，，，点在圆上，点在圆内，故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．二.填空题7．（2021•上海）计算： ．【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．8．（2021•上海）已知，那么 ．【分析】将代入函数表达式，化简即可．【解答】解：由题意将代入函数表达式，则有：．故答案为：．【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式．9．（2021•上海）已知，则 5 ．【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即第29页（共29页）\n，那么这个正数叫做的算术平方根．记为进行解答即可．【解答】解：，．故答案为：5．【点评】此题考查的是算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键．10．（2021•上海）不等式的解集是 ．【分析】不等式移项，把系数化为1，即可求出解集．【解答】解：移项，得：，系数化为1，得：，故答案为．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．11．（2021•上海）的余角是 ．【分析】根据余角的定义即可求解．【解答】解：根据定义一个角是，则它的余角度数是，故答案为，．【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键，12．（2021•上海）若一元二次方程无解，则的取值范围为 ．【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后求出的取值范围．【解答】解：一元二次方程无解，第29页（共29页）\n△，解得，的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．13．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 ．【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．【解答】解：共有9个数据，其中偶数有3个，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．14．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 ．【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征限即可求解．【解答】解：函数经过二、四象限，．第29页（共29页）\n若函数经过，则,即,故函数经过二、四象限，且函数不经过时，且，函数解析式为,故答案为．【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．15．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 元．【分析】根据图像求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解．【解答】解：设卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式为，，解得：，，时，，现以8元卖出，挣得，第29页（共29页）\n故答案为：．【点评】此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式是解题关键．16．（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则 ．【分析】过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到．【解答】解：过作于，过作于，如图：，，，四边形是矩形，，，，第29页（共29页）\n，，，，，故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等底三角形面积比等于高之比，同（等高的三角形面积比等于底之比是解题的关键．17．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．【解答】解：如图，，，，，即，，第29页（共29页）\n小两个正六边形的面积，故答案为：．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出．18．（2021•上海）定义：平面上一点到图形最短距离为，如图，，正方形边长为2，为正方形中心，当正方形绕旋转时，则的取值范围为 ．【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，最大，过正方形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案．【解答】解：如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小，第29页（共29页）\n如图①：正方形边长为2，为正方形中心，，，，，，；如图②：正方形边长为2，为正方形中心，，，，，，；的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出最大、最小时点的位置是解题的关键．三.解答题19．（2021•上海）计算：．第29页（共29页）\n【分析】直接利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：．【点评】此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（2021•上海）解方程组：．【分析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题．【解答】解：，由①得：，把代入②，得：，化简得：，解得：，．把，依次代入得：，，原方程组的解为．【点评】本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力．21．（2021•上海）如图，已知中，，，，，第29页（共29页）\n为边上的中线．（1）求的长；（2）求的值．【分析】（1）解锐角三角函数可得解；（2）连接，过作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求．【解答】解：（1），，，，在中，由勾股定理得，，即的长为6；（2）如图，连接，过点作的垂线，垂足，为边上的中线，第29页（共29页）\n即为的中点，，在中，由勾股定理得，，三角形为等腰三角形，，，在中，，．【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解直角三角函数和勾股定理等基本知识点．22．（2021•上海）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度．【分析】（1）先根据扇形统计图求出三月份所占百分比，即可利用总数乘以三月份所占百分比求解；（2）设手机的下载速度是每秒．则手机的下载速度是每秒第29页（共29页）\n．根据“下载一部的电影，比要快190秒”，列方程求解即可．【解答】解：（1）（万部），答：三月份生产了36万部手机；（2）设手机的下载速度是每秒．则手机的下载速度是每秒．，解得：，（不合题意，舍去），经检验，是原方程的解，答：手机的下载速度是每秒．【点评】此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．24．（2021•上海）已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形．①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；②若在抛物线上，求的坐标．第29页（共29页）\n【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为；（2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是；②过作于，先求出直线为，设，则，,，将代入解得或(与重合，舍去），即可求出．【解答】解：（1）、代入得：,解得，抛物线的解析式为：；（2）①过作于，交轴于，如图：第29页（共29页）\n当与重合时，，，是等腰直角三角形，和也是等腰直角三角形，，，而抛物线的对称轴是轴，到抛物线对称轴的距离是；②过作于，如图：设直线解析式为,将、代入得：,解得,第29页（共29页）\n直线为，设，则，，,，将代入得：，解得或(与重合，舍去），,,，．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标．25．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．（1）当点在上，①求证：；②若，求的值；（2）若，，求的长．第29页（共29页）\n【分析】①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，根据相似三角形的判定定理可得出结论；②得出．过点作于点，设，则，则可得出答案；①如图3，当点在上时，证明四边形是矩形．设,由勾股定理得出方程,解方程即可得出答案；②如图4,当点在上时,设,则,设,由相似三角形的性质得出,证明,得出比例线段,可得出方程,解方程可得出答案．【解答】（1）①证明：如图1,，．，．是斜边上的中线，，，，第29页（共29页）\n；②解如图2，若，在中，，．过点作于点，设，则，在中，，，,；（2）①如图3，当点在上时，，，，是的中点，第29页（共29页）\n，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形．设,,,,,在和中,,,,解得,或(舍去)．．②如图4,当点在上时,设,则,设,,第29页（共29页）\n,,,,．又,,,,,,,将代入,整理得,,解得,或(舍去)．．综合以上可得的长为或．【点评】本题是相似形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．第29页（共29页）
