2021年陕西省中考数学试卷

2021年陕西省中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）（2021•陕西）计算：　　A．1B．C．6D．2．（3分）（2021•陕西）下列图形中，是轴对称图形的是　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•陕西）计算：　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•陕西）如图，点、分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•陕西）在菱形中，，连接、，则的值为　　第32页（共32页）\nA．B．C．D．6．（3分）（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为　　A．B．5C．D．67．（3分）（2021•陕西）如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点、、共线．若，，则线段的长度是　　A．B．C．D．8．（3分）（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：0136下列各选项中，正确的是　　A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与轴无交点第32页（共32页）\nC．这个函数的最小值小于D．当时，的值随值的增大而增大二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）（2021•陕西）分解因式　　．10．（3分）（2021•陕西）正九边形一个内角的度数为　　．11．（3分）（2021•陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为　　．12．（3分）（2021•陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是　　（填“”、“”或“”13．（3分）（2021•陕西）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移可以与该正方形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为　　．三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）14．（5分）（2021•陕西）计算：．第32页（共32页）\n15．（5分）（2021•陕西）解不等式组：．16．（5分）（2021•陕西）解方程：．17．（5分）（2021•陕西）如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作一点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）（2021•陕西）如图，，，点在上，且．求证：．19．（5分）（2021•陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．20．（5分）（2021•陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3第32页（共32页）\n的概率为　　；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．21．（6分）（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度．他们测得为，由于、两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点与点之间的距离约为．已知、、共线，．求钢索的长度．（结果保留根号）22．（7分）（2021•陕西）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为　　，众数为　　；第32页（共32页）\n（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在的范围内（包含和为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．23．（7分）（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是　　；（2）求的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．24．（8分）（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．第32页（共32页）\n25．（8分）（2021•陕西）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求点、的坐标；（2）设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在中，，，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、、、分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．第32页（共32页）\n第32页（共32页）\n2021年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）（2021•陕西）计算：　　A．1B．C．6D．【分析】根据有理数乘法法则进行运算．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．2．（3分）（2021•陕西）下列图形中，是轴对称图形的是　　A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．是轴对称图形，故此选项符合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：．第32页（共32页）\n【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．（3分）（2021•陕西）计算：　　A．B．C．D．【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）（2021•陕西）如图，点、分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为　　A．B．C．D．【分析】由三角形的内角和定义，可得，，所以，由此解答即可．【解答】解：，，，第32页（共32页）\n，，，故选：．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．5．（3分）（2021•陕西）在菱形中，，连接、，则的值为　　A．B．C．D．【分析】由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求解．【解答】解：设与交于点，四边形是菱形，，，，，第32页（共32页）\n，，故选：．【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质是解题的关键．6．（3分）（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为　　A．B．5C．D．6【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．【解答】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到，把代入，得到：，解得．故选：．【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．7．（3分）（2021•陕西）如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点、、共线．若，，则线段的长度是　　第32页（共32页）\nA．B．C．D．【分析】过作于，过作于，由等腰三角形的性质得到，，根据全等三角形判定证得，得到，在中，根据勾股定理求出，进而求出．【解答】解：由题意知，，，过作于，过作于，则，，，，，，，在和中，，，，在中，，，，，，第32页（共32页）\n故选：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得是解决问题的关键．8．（3分）（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：0136下列各选项中，正确的是　　A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与轴无交点C．这个函数的最小值小于D．当时，的值随值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．【解答】解：设二次函数的解析式为，由题知，解得，第32页（共32页）\n二次函数的解析式为，（1）函数图象开口向上，（2）与轴的交点为和，（3）当时，函数有最小值为，（4）函数对称轴为直线，根据图象可知当当时，的值随值的增大而增大，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）（2021•陕西）分解因式　　．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式．故答案为【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、十字相乘法分解因式，注意分解要彻底．10．（3分）（2021•陕西）正九边形一个内角的度数为　　．【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和，第32页（共32页）\n则每个内角的度数．故答案为：．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．11．（3分）（2021•陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为　　．【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．12．（3分）（2021•陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是　　（填“”、“”或“”【分析】反比例函数的系数为，在每一个象限内，随的增大而增大．【解答】解：，图象位于二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，第32页（共32页）\n又，，故答案为：．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．13．（3分）（2021•陕西）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移可以与该正方形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为　　．【分析】当与、相切时，点到上的点的距离最大，如图，过点作于，于，根据切线的性质得到，利用正方形的性质得到点在上，然后计算出的长即可．【解答】解：当与、相切时，点到上的点的距离最大，如图，过点作于，于，，平分，四边形为正方形，点在上，第32页（共32页）\n，，，即点到上的点的距离的最大值为，故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质．三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）14．（5分）（2021•陕西）计算：．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15．（5分）（2021•陕西）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．第32页（共32页）\n【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（5分）（2021•陕西）解方程：．【分析】方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以得：，，，，，检验：当时，，所以是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．17．（5分）（2021•陕西）如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作一点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）第32页（共32页）\n【分析】作线段的垂直平分线得到线段的中点，则中点为点．【解答】解：如图，点为所作．【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．理解两平行线间的距离是解决问题的关键．18．（5分）（2021•陕西）如图，，，点在上，且．求证：．【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断，从而根据全等三角形的性质得到结论．【解答】证明：，第32页（共32页）\n，在和中，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．19．（5分）（2021•陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【分析】设这种服装每件的标价是x元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”从而得出等式方程，解方程即可求解；【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得，10×0.8x＝11（x﹣30），解得x＝110，答：这种服装每件的标价为110元．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，此题应用比较广泛，设出标价得出等式方程是解决问题的关键．20．（5分）（2021•陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3第32页（共32页）\n的概率为　　；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21．（6分）（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度．他们测得为，由于、两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点与点第32页（共32页）\n之间的距离约为．已知、、共线，．求钢索的长度．（结果保留根号）【分析】本题设,在等腰直角三角形中表示出，从而可以表示出，再在中利用三角函数即可求出的长，进而即可求出的长度．【解答】解：在中，设，，，，在中，，，，即，解得：，，钢索的长度约为．【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的特点以及锐角三角函数在直角三角形的应用是解题的关键．22．（7分）（2021•陕西）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：第32页（共32页）\n根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为　　，众数为　　；（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在的范围内（包含和为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解即可；（2）根据加权平均数的定义列式计算即可；（3）用样本中气温在的范围内的天数所占比例乘以今年9月份的天数即可．【解答】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为，众数为，故答案为：，；（2）这60天的日平均气温的平均数为；（3）（天，估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．【点评】第32页（共32页）\n本题主要考查众数和中位数、加权平均数、样本估计总体，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．23．（7分）（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是　1　；（2）求的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．【分析】（1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；（2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；（3）令（2）中解析式，求出即可．【解答】解：（1）由图像知：“鼠”跑了,“鼠”的速度为：,“猫”跑了,第32页（共32页）\n“猫”的速度为：,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是,故答案为：1；（2）设的解析式为：,图象经过和,把点和点坐标代入函数解析式得：,解得：,的解析式为；令,则，，“猫”比“鼠”迟一分钟出发，“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．【点评】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是读取图形中信息，写出函数关系式．24．（8分）（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；第32页（共32页）\n（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．【分析】（1）取的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝∠COF，从而得到结论；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，则可判断△OBC∽△ABD，利用相似比求出BD＝8，则利用勾股定理可计算出AD＝10，接着利用圆周角定理得∠AFB＝90°，则可判断Rt△DBF∽Rt△DAB，然后利用相似比可计算出DF的长．【解答】（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠COF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，第32页（共32页）\n∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，在Rt△ABD中，AD＝＝＝10，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠BDF＝∠ADB，∴Rt△DBF∽Rt△DAB，∴＝，即＝，解得DF＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理相似三角形的判定与性质．25．（8分）（2021•陕西）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求点、的坐标；（2）设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接根据解析式即可求出，的坐标；（2）先设出的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点第32页（共32页）\n的坐标．【解答】解：（1），取，得，，取，得，解得：，，；（2）存在点，设，，且与是对应边，，即：，解得：，，或．【点评】本题主要考查二次函数的性质，要牢记抛物线和坐标轴的交点的计算公式，尤其是和轴的交点一般是两个，要能根据抛物线的解析式求出来，还有相似三角形的性质在综合题型中经常出现，要熟记．26．（10分）（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在中，，，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积．（结果保留根号）问题解决第32页（共32页）\n（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、、、分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点作交的延长线于，先求出，同理，最后用面积的差即可得出结论；（2）分别延长，与，交于点，则四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，米，进而得出，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点作交的延长线于，，四边形是平行四边形，，，，第32页（共32页）\n在中，，，点是的中点，，同理，，，；（2）存在，如图2，分别延长，与，交于点，则四边形是矩形，米，米，设米，则米，米，米，米，米，米，，当时，（平方米），，，符合设计要求的四边形面积的最小值为47000平方米，此时，点到点第32页（共32页）\n的距离为350米．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了锐角三角函数，矩形和三角形的面积公式，二次函数的性质，作出辅助线求出和是解本题的关键．第32页（共32页）