2021年江苏省扬州市中考数学试卷

2021年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2021•扬州）实数100的倒数是　　A．100B．C．D．2．（3分）（2021•扬州）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是　　A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱3．（3分）（2021•扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是　　A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽4．（3分）（2021•扬州）不论取何值，下列代数式的值不可能为0的是　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•扬州）如图，点、、、、在同一平面内连接、、、、，若，则　　第44页（共44页）\nA．B．C．D．6．（3分）（2021•扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是　　A．2B．3C．4D．57．（3分）（2021•扬州）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为　　A．B．C．D．8．（3分）（2021•扬州）如图，点是函数，的图象上一点，过点第44页（共44页）\n分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点、，交函数，的图象于点、，连接、、、，其中．下列结论：①；②；③，其中正确的是　　A．①②B．①③C．②③D．①二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2021•扬州）2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为　　．10．（3分）（2021•扬州）计算：　　．11．（3分）（2021•扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣2m）在第二象限，则整数m的值为　　．12．（3分）（2021•扬州）已知一组数据：、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是　　．13．（3分）（2021•扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马　　第44页（共44页）\n天追上慢马．14．（3分）（2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为　　．15．（3分）（2021•扬州）如图，在中，，点是的中点，过点作，垂足为点，连接，若，，则　　．16．（3分）（2021•扬州）如图，在中，点在上，且平分，若，，则的面积为　　．17．（3分）（2021•扬州）如图，在中，，矩形的顶点、在上，点、分别在、上，若，，且，则的长为　　．第44页（共44页）\n18．（3分）（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为　　．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2021•扬州）计算或化简：（1）．（2）．20．（8分）（2021•扬州）已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值．21．（8分）（2021•扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：第44页（共44页）\n抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数．非常喜欢50人．比较喜欢人．无所谓人．不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是　　；（2）扇形统计图中表示程度的扇形圆心角为　　，统计表中　　；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．22．（8分）（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是　　；第44页（共44页）\n（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．23．（10分）（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？24．（10分）（2021•扬州）如图，在中，的角平分线交于点，，．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积．25．（10分）（2021•扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．第44页（共44页）\n26．（10分）（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．（1）　　，　　；（2）若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；（3）若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标．27．（12分）（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点唯一吗？（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以第44页（共44页）\n为弦的圆弧上（点、除外），．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为　　；②面积的最大值为　　；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．①线段长的最小值为　　；②若，则线段长为　　．28．（12分）（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；③两公司月利润差第44页（共44页）\n月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是　　元；当每个公司租出的汽车为　　辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．第44页（共44页）\n2021年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2021•扬州）实数100的倒数是　　A．100B．C．D．【分析】直接根据倒数的定义求解．【解答】解：100的倒数为，故选：．【点评】本题考查了倒数的定义：的倒数为．2．（3分）（2021•扬州）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是　　A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选：．【点评】第44页（共44页）\n本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．3．（3分）（2021•扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是　　A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：、3天内将下雨，是随机事件；、打开电视，正在播新闻，是随机事件；、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）（2021•扬州）不论取何值，下列代数式的值不可能为0的是　　A．B．C．D．【分析】分别找到各式为0时的值，即可判断．【解答】解：、当时，，故不合题意；、当时，，故不合题意；、分子是1，而，则，故符合题意；第44页（共44页）\n、当时，，故不合题意；故选：．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5．（3分）（2021•扬州）如图，点、、、、在同一平面内连接、、、、，若，则　　A．B．C．D．【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．【解答】解：连接，，，，第44页（共44页）\n故选：．【点评】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．6．（3分）（2021•扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是　　A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个；②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个．故共有3个点，故选：．【点评】第44页（共44页）\n本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．（3分）（2021•扬州）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为　　A．B．C．D．【分析】根据一次函数表达式求出点和点坐标，得到为等腰直角三角形和的长，过点作，垂足为，证明为等腰直角三角形，设，结合旋转的度数，用两种方法表示出，得到关于的方程，解之即可．【解答】解：一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，令，则，令，则，则，，，则为等腰直角三角形，，，过点作，垂足为，第44页（共44页）\n，为等腰直角三角形，设，，旋转，，，，又，，解得：，，故选：．【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．8．（3分）（2021•扬州）如图，点是函数，的图象上一点，过点第44页（共44页）\n分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点、，交函数，的图象于点、，连接、、、，其中．下列结论：①；②；③，其中正确的是　　A．①②B．①③C．②③D．①【分析】设，分别求出，，，的坐标，得到，，，的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得的面积，可判断③；再利用计算的面积，可判断②．【解答】解：轴，轴，点在上，点，在上，设，则，，，令，则，即，，，，，，即，第44页（共44页）\n又，，，，故①正确；的面积，故③正确；，故②错误；故选：．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2021•扬州）2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为　　．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将3020000用科学记数法表示为．故答案为：．第44页（共44页）\n【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．10．（3分）（2021•扬州）计算：　4041　．【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．【解答】解：故答案为：4041．【点评】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．11．（3分）（2021•扬州）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣2m）在第二象限，则整数m的值为　2　．【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．12．（3分）（2021•扬州）已知一组数据：、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是　5　．第44页（共44页）\n【分析】根据平均数的定义先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【解答】解：这组数据的平均数为5，则，解得：，将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7，观察数据可知最中间的数是5，则中位数是5．故答案为：5．【点评】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13．（3分）（2021•扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马　20　天追上慢马．【分析】设良马行日追上驽马，根据路程速度时间结合两马的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设快马行天追上慢马，则此时慢马行了日，依题意，得：，解得：，快马20天追上慢马，故答案为：20．第44页（共44页）\n【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．（3分）（2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为　　．【分析】此几何体为圆柱，那么侧面积底面周长高．【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为，高为，侧面积．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，难点是确定几何体的形状，关键是找到等量关系里相应的量．15．（3分）（2021•扬州）如图，在中，，点是的中点，过点作，垂足为点，连接，若，，则　3　．【分析】由直角三角形的性质得出,由三角形中位线定理得出,由勾股定理求出,则可求出答案．第44页（共44页）\n【解答】解,,,点是的中点，是的中点,,,,,．故答案为3．【点评】本题考查了三角形中位线定理,直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．16．（3分）（2021•扬州）如图，在中，点在上，且平分，若，，则的面积为　50　．【分析】过点作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【解答】解：过点作，垂足为，第44页（共44页）\n，，，四边形是平行四边形，，，又平分，即，，，四边形的面积，故答案为：50．【点评】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键．17．（3分）（2021•扬州）如图，在中，，矩形的顶点、在上，点、分别在、上，若，，且，则的长为　　．第44页（共44页）\n【分析】根据矩形的性质得到，证明，可得，证明，得到，在中，利用勾股定理求出值即可．【解答】解：，设，则，四边形是矩形，，，，即，，，，在和中，，，，在中，，第44页（共44页）\n即，解得：或（舍，，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到的长．18．（3分）（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为　1275　．【分析】首先得到前个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：，第③个图形中的黑色圆点的个数为：，第④个图形中的黑色圆点的个数为：，第44页（共44页）\n第个图形中的黑色圆点的个数为，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，，，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即，故答案为：1275．【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2021•扬州）计算或化简：（1）．（2）．【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．【解答】解：（1）原式；（2）原式．第44页（共44页）\n【点评】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．20．（8分）（2021•扬州）已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值．【分析】求出方程组的解得到与的值，代入方程计算即可求出的值．【解答】解：方程组，把②代入①得：，解得：，代入①中，解得：，把，代入方程得，，解得：．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．21．（8分）（2021•扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：第44页（共44页）\n抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数．非常喜欢50人．比较喜欢人．无所谓人．不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是　200　；（2）扇形统计图中表示程度的扇形圆心角为　　，统计表中　　；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．【分析】（1）用程度人数除以对应百分比即可；（2）用程度的人数与样本人数的比值乘以即可得到对应圆心角，算出等级对应百分比，乘以样本容量可得值；第44页（共44页）\n（3）用样本中、程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可．【解答】解：（1），则样本容量是200；（2），则表示程度的扇形圆心角为；，则；（3）名，该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．【点评】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是　　；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．第44页（共44页）\n【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）丙坐了一张座位，甲坐在①号座位的概率是；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，甲与乙相邻而坐的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2021•扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？【分析】设原先每天生产万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．【解答】解：设原先每天生产万剂疫苗，由题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解，第44页（共44页）\n原先每天生产40万剂疫苗．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．24．（10分）（2021•扬州）如图，在中，的角平分线交于点，，．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积．【分析】（1）根据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明；（2）根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可．【解答】解：（1）四边形是菱形，理由是：，，四边形是平行四边形，平分，，，，，第44页（共44页）\n，平行四边形是菱形；（2），四边形是正方形，，，四边形的面积为．【点评】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．25．（10分）（2021•扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）过点作，证明，得到，即可证明与圆相切；（2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积．第44页（共44页）\n【解答】解：（1）过点作，垂足为，，，，，．在和中，，，，则点在圆上，与相切；（2），，是等边三角形，第44页（共44页）\n，，，，，阴影部分的面积．【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．26．（10分）（2021•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．（1）　　，　　；（2）若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；（3）若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标．第44页（共44页）\n【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出的面积，设点，再根据，得到方程求出值，即可求出点的坐标；（3）分点在点左侧和点在点右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．【解答】解：（1）点和点在二次函数图像上，则，解得：，故答案为：，；（2）连接，由题意可得：，，，，，，设点，，即，解得：或，代入，可得：值都为6，第44页（共44页）\n，或，；（3）设，点在抛物线位于轴上方的部分，或，当点在点左侧时，即，可知点到的距离小于点到的距离，，不成立；当点在点右侧时，即，和都以为底，若要面积相等，则点和点到的距离相等，即，设直线的解析式为，则，解得：，则设直线的解析式为，将点代入，第44页（共44页）\n则，解得：，则直线的解析式为，将代入，即，解得：或（舍，，点的坐标为．【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．27．（12分）（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点唯一吗？（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．第44页（共44页）\n①该弧所在圆的半径长为　2　；②面积的最大值为　　；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．①线段长的最小值为　　；②若，则线段长为　　．【分析】（1）①设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径；②过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）①根据，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，可得点在优弧上，连接，与圆交于，可得即为的最小值，再计算出和圆的半径，相减即可得到；②根据，和推出点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，解直角三角形即可求出．第44页（共44页）\n【解答】解：（1）①设为圆心，连接，，，，又，是等边三角形，，即半径为2；②以为底边，，当点到的距离最大时，的面积最大，如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，，，，，的最大面积为；（2）如图，延长，交圆于点，连接，点在圆上，，，，第44页（共44页）\n，即；（3）①如图，当点在上，且时，，，，，为定值，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，当点在优弧上时，，连接，与圆交于，此时即为的最小值，过点作，垂足为，点是中点，点为中点，即，，，，，圆的半径为，，即的最小值为；第44页（共44页）\n②，，，则，中边上的高中边上的高，即点到的距离和点到的距离相等，则点到和的距离相等，即点在的平分线上，如图，过点作，垂足为，平分，，为等腰直角三角形，又，，，，．【点评】第44页（共44页）\n本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹．28．（12分）（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；③两公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是　48000　元；当每个公司租出的汽车为　　辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，同（1）可得和的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为第44页（共44页）\n，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围．【解答】解：（1）元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为辆，由题意可得：，解得：或（舍，当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，则，，当甲公司的利润大于乙公司时，，，当时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，，，对称轴为直线，当时，利润差最大，且为33150元；第44页（共44页）\n综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为，对称轴为直线，只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，，解得：．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式．第44页（共44页）