4.6解三角形第四章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.备考指导应用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考必考考点之一,一般作为解答题出现,且常具有一定的开放性.此外,应用正弦定理、余弦定理解决生活中的一些实际问题也是新高考的热点,复习时要注意与三角恒等变换的综合应用,提升逻辑推理、数学运算、数学建模素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.余弦定理(1)余弦定理(2)余弦定理的推论\n2.正弦定理\n3.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.\n问题思考在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的个数是否确定?不确定,解的情况如下:三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.\n\n5.余弦定理、正弦定理的实际应用(1)基线在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.(2)实际测量中的有关名称、术语\n\n三角形中常用的结论(1)三角形中的三角函数关系sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;(2)在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.()(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.()√√×√×\n2.在△ABC中,化简bcosC+ccosB的结果为()A.aB.bC.cD.A由正弦定理得bcosC+ccosB=2R(sinBcosC+cosBsinC)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a(R为△ABC外接圆的半径).D由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选D.\n4.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.5.在△ABC中,若acosA=bcosB,则这个三角形的形状为.等腰三角形或直角三角形由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或故△ABC为等腰三角形或直角三角形.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1利用正弦定理、余弦定理解三角形\n\n解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC的外接圆的半径)能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断.\n4\n\n能力形成点2与三角形面积有关的问题\n\n\n\n(1)若是求多边形的面积,则可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正弦定理、余弦定理求出某两边及其夹角,利用三角形的面积公式进行求解.\n对点训练2在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccosC.(1)求角A的大小.\n解(1)因为(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccosC,由余弦定理,可得(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理,可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC,因为A+B+C=π,所以2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(C+A)=sinB,\n\n能力形成点3判断三角形的形状例3在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;(2)若,试判断△ABC的形状.解(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,∵0°<A<180°,∴A=60°.\n\n解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要有以下两条途径(1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状.(2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=π这个结论.注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解.(2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.\n对点训练3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.\n能力形成点4正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题\n\n解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.2.在解三角形问题中,因为面积公式中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供条件.\n\n\n能力形成点5正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用例5如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=m.\n解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.\n对点训练5某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10km的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10km/h的速度行驶,海军舰艇立即以的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.\n\n第三环节 学科素养提升\n三角形中的边角关系设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA.证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcosC=CD,ccosB=BD,故bcosC+ccosB=CD+BD=BC=a,即a=bcosC+ccosB,同理可证b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.\n典例1在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案:A解析:(方法一)因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,即C=90°或2b=a.因为△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.故选A.\n(方法三)由正弦定理及sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,得b+2bcosC=2acosC+ccosA=acosC+(acosC+ccosA)=acosC+b,即2bcosC=acosC.因为△ABC为锐角三角形,所以cosC≠0,则2b=a.\n典例2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.解析:(方法一)由2bcosB=acosC+ccosA及正弦定理,得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,则2sinBcosB=sin(A+C).∵A+B+C=π,∴A+C=π-B,∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB.\n答案:B解析:由sinB+sinA(sinC-cosC)=0及正弦定理,得b+asinC-acosC=0.由三角形的边角关系,得b=acosC+ccosA,可得asinC+ccosA=0,即sinAsinC+sinCcosA=0.因为sinC≠0,得sinA+cosA=0,所以tanA=-1.
