4.4三角恒等变换第四章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).备考指导三角恒等变换是求解三角函数问题的重要工具,很多问题都需要先对已知函数进行恒等变形,化为适合于解答的形式,变形的方向是关键.复习时要牢记各个公式及公式的变形,理解公式之间的关联,会应用公式转化和解决问题,提升数学运算素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式\n2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;温馨提示1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情况.3.辅助角公式\n\n【知识巩固】××√√×\nDsin20°sin80°-cos160°cos80°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=\nD\n4.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.1∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sinx,∴f(x)max=1.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1三角函数公式的直接应用\n解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.\n\n\n\nBB\n解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.\n对点训练2(1)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.因为(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,所以sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.所以sin(α+β)=\n\n能力形成点3三角函数公式运用中角的变换C\n\n解题心得求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.\n\ncos(30°-2α)=cos(180°-150°-2α)=-cos(150°+2α)=-2cos2(75°+α)+1\n能力形成点4三角函数式的化简-cosθ\n\n\n\n解题心得1.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助角公式等.2.三角函数式化简的基本思路“一角二名三结构”,即:一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”,关于sinαcosα的齐次分式化切等;三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.\n3.三角函数式化简的主要技巧(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.\n\n\n能力形成点5三角函数的求值命题角度1给角求值问题例5求值:1\n命题角度2给值求值问题\n\n命题角度3给值求角问题\n解题心得1.“给角求值”:解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.2.“给值求值”:给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将由已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.3.“给值求角”:实质上也可转化为“给值求值”,关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.\n\n\n\n第三环节 学科素养提升\n半角公式及其应用1.半角公式及其推导\n温馨提示应用半角公式时,(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正、负两个符号;\n\n\n答案:D\n
