9.3二项式定理第九章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理的通项和二项式系数的性质.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题.4.了解杨辉三角的结构特征和基本性质,理解杨辉三角和二项式定理的内在联系,并能解决与之相关的问题.\n备考指导二项式定理是高考命题的重点,高考中以选择题或填空题的形式出现,难度不大,主要体现在对二项式定理的通项、二项式系数的性质及二项展开式系数和问题的考查.鉴于新高考对于数学文化的加强,因此要进一步渗透杨辉三角的知识和应用.本节常用的方法有通项公式法、代入法、赋值法、类比法;素养方面要加强逻辑推理、数学运算的培养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.二项式定理问题思考1(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?(a+b)n与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同,且两个展开式的通项不同.\n2.二项式系数的性质\n问题思考2当二项展开式的项的二项式系数最大时,该项的系数一定最大吗?不一定.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)(a-b)n的展开式中第k+1项的系数为.()(2)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()(3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(x-1)n的展开式的各二项式系数和为-2n.()×√××2.的展开式中二项式系数最大的项是()A.35x2B.20x2C.70x4D.35x4C\nBD2405.设(x2+2)(3x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,则a0+a1+a2+…+a10等于.3依题意,令x=1,则a0+a1+a2+…+a10=(1+2)×1=3.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1二项展开式命题角度1求展开式中的特定项(或系数)例1(1)(2020全国Ⅰ,理8)的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20C\n(2)在(x2-4)5的展开式中,含x6的项为.160x6280\n命题角度2根据展开式的项求参数A\n解题心得1.求二项展开式中的项或项的系数的方法:求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要先建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.2.求三项展开式中某些特殊项的系数的方法:(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理去解;(2)两次利用二项式定理的通项公式求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.\n对点训练1(1)x(1+x)6的展开式中x3的系数为()A.30B.20C.15D.10CD\nB\n能力形成点2二项式系数的性质与各项系数和命题角度1二项式系数的最值问题例3(1+2x)4的展开式中,二项式系数最大的项为.24x2\n命题角度2项的系数的最值问题-8064-15360x4\n\n命题角度3求二项展开式中系数的和例5(1)若(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,则a1+a2+…+a2021=()A.2B.-1C.2D.-2D由已知得令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+…+a2021=-1,故a1+a2+…+a2021=-2.\n(2)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.3设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=16(a+1),①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0.②①-②,得2(a1+a3+a5)=16(a+1),故展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.\n\n3.求二项展开式中系数和的常用方法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.\n对点训练2(1)已知的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则展开式中有理项的项数为()A.8B.7C.6D.5C\n(2)已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项为()A.第5项B.第4项C.第4项或第5项D.第5项或第6项A\n(3)已知xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n(n∈N*)对任意x∈R恒成立,则|a0|=;若a4+a5=0,则n=.19因为xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n(n∈N*)对任意x∈R恒成立,所以令x=-1,得a0=(-1)n,所以|a0|=1.因为xn=[-1+(x+1)]n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,\n能力形成点3二项式定理的综合应用A.iB.-iC.-1+iD.-1-iC(2)设a∈Z,且0≤a<13,若511012+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12D\n解题心得1.整除问题是二项式定理中常见的应用问题,用二项式定理处理整除问题,通常先把幂的底数写成除数与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,切记余数不能为负.2.二项式定理可以正用或逆用,注意选择合适的形式.\n对点训练3A.-1B.1C.-87D.87B\n第三环节 学科素养提升\n数学探究——杨辉三角的性质与应用典例1(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图,以下根据杨辉三角的性质得到的猜想正确的有()答案:ABC\n解析:由杨辉三角的性质及二项式系数的性质,可知A,B,C显然正确.因为115是一个六位数,所以D错误.\n典例2杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就.如图,在杨辉三角中,去除所有为1的项,依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前56项和为.答案:4084\n\n归纳提升1.杨辉三角中蕴含的重要结论\n2.解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)通过观察,找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.(2)将数据间的联系用数学式表示出来,使问题得解.(3)注意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看等,从多角度观察.
