11.1随机事件与概率、事件的相互独立性第十一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.3.结合实例,会用频率估计概率.4.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义,利用随机事件的独立性计算概率.\n备考指导随机事件与概率、事件的相互独立性是高考的重点内容,高考中主要在选择题、填空题中考查,难度中等.本节内容在解答题中一般不会单独命题,但经常渗透到概率和统计的解答题中.本节常用的方法有代入法、估算法、间接法,使用公式时尤其要注意使用条件.素养方面要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的培养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.随机试验的相关概念(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.温馨提示我们所研究的随机试验有如下特点:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.\n(2)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.(3)样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间.(4)有限样本空间:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.\n2.事件的概念(1)随机事件:一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.(2)基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件.(3)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.(4)不可能事件:空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.\n3.频率与概率(1)频率的概念:在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.(2)频率与概率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).温馨提示随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.\n4.事件的关系与运算\n\n温馨提示如图,对于随机事件A,B之间的关系或运算可以用Venn图表示.\n问题思考1随机事件A,B互斥与对立有何区别与联系?当随机事件A,B互斥时,不一定对立,但当随机事件A,B对立时,一定互斥.\n5.概率的基本性质性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).6.事件的相互独立性对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.温馨提示若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).\n问题思考2两个事件相互独立与两个事件互斥有何不同?两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()(3)两个事件的和事件是指两个事件都发生.()×√×√\n2.某地实行新高考,规定:语文、数学、英语是必考科目,考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目,还需从剩下的5个科目中再选择2个组成自己的选考方案,则事件“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”()A.是相互独立事件B.是对立事件C.不是互斥事件D.是互斥事件,但不是对立事件D由题意可知事件“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生,但能同时不发生,故事件“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是互斥事件,但不是对立事件.\n3.(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂生产的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品.现在从这个工厂生产的产品中随机抽查1件,设事件A为“产品为一等品”,B为“产品为合格品”,C为“产品为不合格品”,用频率估计概率,则下列结论正确的是()ABC\n4.从一箱产品中随机抽取一件,设事件A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三等品”.若P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为.0.35因为事件“抽到的产品不是一等品”与事件A互为对立,P(A)=0.65,所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.\n5.根据天气预报,在元旦假期,甲地的降雨概率为0.2,乙地的降雨概率为0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为.0.38\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1随机事件的关系例1(1)(多选)已知不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次性任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都是红色”互斥而不对立的事件为()A.2张卡片都不是红色B.2张卡片恰有一张红色C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都是绿色ABD事件“2张卡片都是红色”与“2张卡片都不是红色”不可能同时发生,但可以同时不发生,故选项A符合题意.同理,选项B,D符合题意,选项C不符合题意.故选ABD.\n(2)下列事件A,B是相互独立事件的是()A.掷一枚质地均匀的硬币两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B.袋中装有除颜色外完全相同的两个白球和两个黑球,不放回地摸出两球,A=“第一次摸出白球”,B=“第二次摸出白球”C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D.从一批灯泡中随机抽取一个,A=“该灯泡能使用800h以上”,B=“该灯泡能使用1000h以上”A\n对于A,因为第一次掷硬币的结果与第二次掷硬币的结果互不影响,所以事件A,B是相互独立事件.对于B,因为不放回地摸出两球,所以第一次是否摸出白球影响第二次摸出白球的发生,所以事件A,B不是相互独立事件.对于C,事件A,B是对立事件,不是相互独立事件.对于D,因为事件A的发生与否影响事件B的发生,所以事件A,B不是相互独立事件.\n解题心得1.判断互斥事件、对立事件一般利用定义直接判断,互斥事件不可能同时发生,对立事件一定是互斥事件,且必有一个发生.2.判断事件是否相互独立可以看事件之间的发生是否有影响,若事件的发生彼此有影响,则两个事件不是相互独立事件;若事件的发生彼此没有影响,则两个事件是相互独立事件.还可以利用定义进行判断,即若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B是相互独立事件.\n对点训练1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件D根据互斥事件与对立事件的定义作答.A∩B=“向上的一面出现数字1或3”,故事件A,B不互斥,更不对立;B∩C=⌀,B∪C=Ω,故事件B,C是对立事件.\n(2)(多选)分别抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件M=“第一枚骰子向上的点数为奇数”,事件N=“第二枚骰子向上的点数为偶数”,则()A.M与N互斥B.M与N不对立C.M与N相互独立D.BCD因为P(MN)=P(M)P(N),所以M与N相互独立.因为M与N可能同时发生,所以M与N不互斥,也不对立.故选BCD.\n能力形成点2随机事件的频率与概率例2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,那么需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.\n(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25℃,由表格数据知,最高气温低于25℃的频率为,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.\n(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃,由表格数据知,最高气温不低于20℃的频率为因此Y大于零的概率的估计值为0.8.\n解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率.2.求随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率;(2)利用随机事件A包含的样本点数除以样本点总数.\n对点训练2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100名从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:\n(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(2)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.\n解(1)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.(2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40min内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50min内赶到火车站.用频率估计概率,由(1)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.\n能力形成点3求复杂事件的概率命题角度1互斥事件与对立事件的概率例3(1)“二十四节气”是古代农耕文明的产物,表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念,蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀.根据多年气象统计资料,某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在节气夏至当日不下雨的概率为()A.0.65B.0.55C.0.35D.0.75B由已知得该地在节气夏至当日不下雨的概率为1-0.45=0.55.\n(2)拨打某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1,响第2声时被接的概率是0.2,响第3声时被接的概率是0.3,响第4声时被接的概率是0.35.求打进的电话在响5声之前被接的概率.解设“打进的电话响第k声时被接”为事件Ak,k=1,2,3,4,则事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,P(A4)=0.35.设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,则A=A1∪A2∪A3∪A4,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.\n命题角度2相互独立事件的概率例4(1)在投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学各次投篮投中的概率分别为0.6,0.5,0.5,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.55B.0.45C.0.35D.0.3A设该同学各次投篮投中分别为事件A,B,C,则A,B,C相互独立,P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(C)=0.5,故所求概率\n求:①乙、丙两个家庭各自回答正确的概率;②甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率.\n\n解题心得1.求解互斥事件、对立事件的概率的方法(1)直接利用互斥事件的概率加法公式求解概率.(2)先求出所求事件的对立事件的概率,再利用公式求出所求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.\nD\n\n第三环节 学科素养提升\n一题多解——用直接法和间接法解概率问题典例一盒中装有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球为红球或黑球的概率;(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率.解:设事件A1=“取出1球为红球”,A2=“取出1球为黑球”,A3=“取出1球为白球”,A4=“取出1球为绿球”,根据题意,可知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥.\n\n\n解题心得求复杂事件的概率常用两种方法:(1)公式法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和事件,求出这些互斥事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.(2)间接法:若将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和事件需要分类很多,而其对立事件分类较少,则考虑先求其对立事件的概率,再利用公式P(A)=1-求解.特别是求“至少”“至多”型事件的概率,用间接法求解较简便.\n变式训练经统计,在某银行储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.\n解设“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)设“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,故P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)设“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,故P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)设“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为G,故P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.
