11.4离散型随机变量的数字特征第十一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.理解离散型随机变量的均值、方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.3.理解均值和方差的性质,并能解决一些相关问题.备考指导离散型随机变量的数字特征在高考中一般不单独命题,主要在概率与统计的解答题中考查,题目整体有一定的综合性.有时该部分内容也出现在选择题中,难度中等.本节复习中要注意公式和性质的理解,尤其要重视均值、方差在实际问题中的意义.从素养角度,要加强数学建模、数学运算、逻辑推理的培养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,温馨提示均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.\n2.离散型随机变量的方差设离散型随机变量X的分布列如表所示.考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称\n温馨提示随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.\n问题思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有怎样的关系?随机变量的均值、方差是一个常数,而样本均值、方差是随机变量,随着观测次数的增加或样本量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.\n3.离散型随机变量的均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).1.如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.E(X+Y)=E(X)+E(Y).3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.()(4)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离均值的平均程度.()×××√×\nD\nBC\n4.已知X的分布列为设Y=2X+3,则E(Y)的值为.\n5.在一个袋中放入四种不同颜色的球,每种颜色的球各2个,这些球除颜色外完全相同.现玩一种游戏:游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球,若抽出的4个球恰含两种颜色,则获得2元奖金;若抽出的4个球恰含四种颜色,则获得1元奖金;其他情况游戏参与者需交费1元.设某人参加一次这种游戏的收益为X,则E(X)=.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1离散型随机变量的均值与方差例1已知随机变量X的分布列为(1)求X2的分布列;(2)求X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.\n\n解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意均值、方差性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),方差为D(X),则随机变量aX+b的均值为aE(X)+b,方差为a2D(X).\n对点训练1(多选)已知离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的有()A.q=0.2B.E(X)=3,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=7,D(Y)=5.6BD由已知得q=1-0.2-0.1-0.2=0.5.则E(X)=1×0.2+2×0.1+3×0.2+4×0.5=3,D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.1+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.5=1.4.因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=7,D(Y)=4D(X)=5.6.故选BD.\n能力形成点2离散型随机变量的均值与方差的应用例2根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.\n解(1)由已知条件和概率的加法公式,得P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.\n(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,则P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)解题心得在实际问题中求离散型随机变量的均值与方差,要先根据实际情境,理解随机变量的含义,进而写出随机变量的所有可能取值,再求出随机变量取每个值的概率,求解时注意排列组合、古典概型等知识的运用,最后利用均值、方差的定义,求出均值、方差.\n对点训练2(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X,求X的分布列、均值E(X)与方差D(X).\n\n\n第三环节 学科素养提升\n均值与方差在决策中的应用典例甲、乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下:甲公司规定底薪70元,每单抽成1元;乙公司规定底薪100元,每日前45单无抽成,超过45单的部分每单抽成6元.(1)设甲、乙快递公司的“快递小哥”的日工资y(单位:元)与日送货单数n的函数解析式分别为y=f(n),y=g(n),求f(n),g(n);(2)假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同,现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”,并记录其100天的送货单数,得到如下条形图.若将频率视为概率,回答下列问题:\n①记乙快递公司的“快递小哥”的日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值;②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作,如果仅从日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.\n解:(1)甲快递公司的“快递小哥”的日工资y(单位:元)与日送货单数n的函数解析式为y=f(n)=70+n,n∈N*.乙快递公司的“快递小哥”的日工资y(单位:元)与日送货单数n的函数解析式为\n\n②由已知得甲快递公司的“快递小哥”的日平均送货单数为42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45,所以甲快递公司的“快递小哥”的日平均工资为70+45×1=115(元).由①知,乙快递公司的“快递小哥”的日平均工资为112元.故仅从日收入的角度考虑,应选择甲快递公司.解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的平均水平,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的平均水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量的均值相同或相差不大,则可通过分析两个随机变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.
