11.3离散型随机变量及其分布列第十一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列.2.理解两点分布的特点.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质,并能解决实际问题.备考指导离散型随机变量及其分布列是高考命题的重点,高考中本节知识一般在解答题中考查,有时也在选择题中出现,难度中等.对本部分知识的考查主要借助实际背景,抽象出模型特点,运用相应的概率公式逐一求解.从素养角度,要加强数学建模、数学运算、数据分析的培养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.2.离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.\n3.离散型随机变量的分布列(1)定义一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)性质①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.\n\n问题思考只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗?举例说明.只取两个不同值的随机变量不一定服从两点分布.例如:随机变量X的分布列为此时X不服从两点分布,因为X的取值不是0和1.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在离散型随机变量分布列中,各个概率之和可以小于1.()(2)抛掷质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的次数是随机变量.()(3)离散型随机变量的每个取值对应的概率都相等.()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.()(5)离散型随机变量的每个取值对应的概率可以是任意的实数.()×√×√×\n2.若随机变量X的分布列为则P(X<1)=()A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2B由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.\n3.(多选)设随机变量X的分布列为,则()A.15a=1B.P(0.5<X<0.8)=0.2C.P(0.1<X<0.5)=0.2D.P(X=1)=0.3ABC\n4.有一批产品共12件,其中次品有3件,每次从中任取1件,在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是.5.已知离散型随机变量X的分布列为则a=.0,1,2,3\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1离散型随机变量分布列的性质例1(1)已知离散型随机变量X的分布列为则c的值为()B\n解题心得1.利用离散型随机变量分布列的性质既可以求与概率有关的参数的值,还可以检验所求分布列是否正确.2.求离散型随机变量在某一范围内取值的概率,只需将离散型随机变量在这一范围内所有取值对应的概率相加即可.\n对点训练1(1)已知离散型随机变量X的分布列为A\n(2)已知随机变量X的分布列为若P(X<a)=0.8,则a的取值范围为.(1,2]由题意可知P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,又P(X<a)=0.8,故1<a≤2.\n能力形成点2离散型随机变量的分布列命题角度1两点分布例2袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,6个红球,从中任意摸出2个球,记求随机变量X的分布列.\n命题角度2一般离散型随机变量的分布列例3某项数学竞赛考试共四道题,考察内容分别为代数、几何、数论、组合,前两题每题满分40分,后两题每题满分60分,题目难度随题号依次递增.已知学生甲答题时,若该题会做,则必得满分,若该题不会做,则不作答得0分,通过对学生甲以往同类模拟考试情况的统计,得到他各题得分的概率如表所示.\n假设学生甲考试中各题的得分相互独立.(1)若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合,试求学生甲考试得160分的概率;(2)学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题,于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练,并取得了很大进步,现在,只要代数题在试卷第1,2题的位置,他就一定能答对.若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何,试求学生甲此次考试得分X的分布列.解(1)学生甲考试得160分,即第1,2题做对一道,第3,4题都做对,故所求概率P=(0.6×0.3+0.4×0.7)×0.5×0.2=0.046.\n(2)由题意知学生甲第1题必得40分,只需考虑另外三道题的得分情况,故X的所有可能取值为40,80,100,140,160,200,P(X=40)=0.3×0.7×0.7=0.147,P(X=80)=0.7×0.7×0.7=0.343,P(X=100)=0.30.3×0.7=0.126,P(X=140)=0.70.3×0.7=0.294,P(X=160)=0.3×0.3×0.3=0.027,P(X=200)=0.7×0.3×0.3=0.063.所以X的分布列为\n解题心得1.判断一个随机变量是否服从两点分布要注意以下两点:(1)看取值:随机变量只取0和1两个值.(2)验概率:检验概率之和是否为1.若满足以上两点,则该随机变量服从两点分布,否则不服从两点分布.2.求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列.3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.\n对点训练2(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.\n(2)某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图如图所示,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.①求此人到达当日空气重度污染的概率.②设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列.\n\n第三环节 学科素养提升\n易错辨析——对随机变量的意义理解有错典例某人进行一项试验.若成功,则停止试验;若失败,则重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.已知每次试验成功的概率为,各次试验成功与否互不影响,求此人试验次数X的分布列.\n错误解法试验次数X的可能取值为1,2,3.出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验均失败,第三次试验无论成功与否,之后都停止试验.而错误解法误认为X=3表示前两次试验均失败,第三次试验成功.\n正确解法依题意,X的可能取值为1,2,3,\n解题心得在确定随机变量的取值时,要找出关键词,理解随机变量的实际意义,准确列出随机变量所有可能的取值,进而求出随机变量取每个值的概率,得到随机变量的分布列.\n变式训练将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,设向上的点数之差的绝对值为X,求随机变量X的分布列.解将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,向上的点数有36种可能的结果,如表所示.\n
