2.2函数的单调性与最值\n-2-知识梳理双基自测2311.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)\n-3-知识梳理双基自测231上升的下降的\n-4-知识梳理双基自测231(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数减函数区间D注意:从单调函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在其定义域的一个区间上是增函数,而在另一个区间上不是增函数.例如,函数y=x2,当x∈[0,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,0]时是减函数.\n-5-知识梳理双基自测2312.函数的最值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M\n-6-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)函数单调性的常用结论上升的下降的大于小于相同相反\n-7-知识梳理双基自测231(3)设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在区间D上单调递增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在区间D上单调递减.(4)①若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;②若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;③函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.\n2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)函数y=在区间(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数.()(2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是(0,+∞).()(3)函数y=f(x)在区间[0,+∞)内为增函数,则函数y=f(x)的递增区间为[0,+∞).()×××√√\n-9-知识梳理双基自测234152.下列函数中,在区间(-1,1)内为减函数的是()A.y=B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234153.若2x+5y≤2-y+5-x,则有()A.x+y≥0B.x+y≤0C.x-y≤0D.x-y≥0答案解析解析关闭设函数f(x)=2x-5-x,易知f(x)为增函数,∵f(-y)=2-y-5y,由已知得f(x)≤f(-y),∴x≤-y,∴x+y≤0.答案解析关闭B\n-11-知识梳理双基自测234154.(教材例题改编P31例4)已知,x∈[2,6],则f(x)的最大值为,最小值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测234155.函数的最大值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测23415自测点评1.函数的单调性是对某个区间而言的,如函数y=在区间(-∞,0),(0,+∞)内单调递减,但它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内不单调递减,单调区间只能分开写或用“和”连接,不能用“∪”连接,也不能用“或”连接.2.如果一个函数在某个区间上是增函数,那么它的递增区间的范围有可能更大,例如f(x)=x在区间[0,+∞)内是增函数,但是f(x)的递增区间是(-∞,+∞).3.单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则.4.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值,求函数最值的基本方法是利用函数的单调性.\n-14-考点1考点2考点3思考判断函数单调性的基本方法有哪些?\n-15-考点1考点2考点3解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)利用已知函数的单调性,如已知f(x),g(x)为增函数,则-f(x)为减函数,f(x)+g(x)为增函数.(2)定义法:一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式,再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断.(3)图象法:若f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定它的单调性.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法,基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.(2)可导函数可以利用导数证明.\n-16-考点1考点2考点33.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.\n-17-考点1考点2考点3对点训练1设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在区间(0,1)内是增函数B.奇函数,且在区间(0,1)内是减函数C.偶函数,且在区间(0,1)内是增函数D.偶函数,且在区间(0,1)内是减函数答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3例2求下列函数的单调区间:(1)y=-x2+2|x|+1;思考求函数的单调区间有哪些方法?\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3解题心得求函数的单调区间与确定单调性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义，求单调区间.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.注意:确定函数定义域是解决函数单调性问题的前提.\n-22-考点1考点2考点3(2)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)和(1,+∞)对点训练2(1)下列函数在区间(0,+∞)内是减函数的是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3考向一利用函数的单调性求函数的值域或最值思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-24-考点1考点2考点3考向二利用函数的单调性比较大小思考如何利用函数的单调性比较大小?A\n-25-考点1考点2考点3\n-26-考点1考点2考点3考向三利用函数的单调性解不等式例5设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.思考如何解与函数有关的不等式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n考向四利用函数的单调性求参数的值(或范围)例6(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a的取值范围为.思考如何利用函数的单调性求参数的值(或范围)?-27-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-28-考点1考点2考点3解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标;函数的最小值对应图象最低点的纵坐标;利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决.3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(M)<f(N)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意M,N应在定义域内取值.4.利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.\n-29-考点1考点2考点3对点训练3(1)若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q(2)已知函数f(x)=x|x|,若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-k<0,则k的取值范围是()CD\n-30-考点1考点2考点31(-∞,1]∪[4,+∞)\n-31-考点1考点2考点3解析(1)当0<a<1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数.故由a3+1<a2+1,可得loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数.故由a3+1>a2+1,可得loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.(2)因为当x≥0时,f(x)=x2,当x<0时,f(x)=-x2,所以函数f(x)在R上单调递增.由选项知k>0,\n-32-考点1考点2考点3当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数;当x>2时,h(x)=3-x是减函数,故h(x)在x=2处取得最大值h(2)=1.\n-33-考点1考点2考点31.函数单调性判定的常用方法:图象法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.2.求函数值域或最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图象法,先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)配方法,对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法,对较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.\n-34-考点1考点2考点3(5)基本不等式法,先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后,再用基本不等式求出最值.(6)导数法,首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段的端点值之间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是交.\n-35-考点1考点2考点31.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.2.不同的单调区间之间不能用符号“∪”及“或”连接.
