3.3导数的综合应用\n-2-考点1考点2考点3例1设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.思考如何求与函数极值有关的参数范围?\n-3-考点1考点2考点3\n-4-考点1考点2考点3\n-5-考点1考点2考点3解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加了条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否符合题意,符合题意的范围即为所求范围.\n-6-考点1考点2考点3对点训练1设函数f(x)=x2-2x+mlnx+1,其中m为常数.(2)若函数f(x)有唯一极值点,求实数m的取值范围.\n-7-考点1考点2考点3\n-8-考点1考点2考点3\n-9-考点1考点2考点3综上,当m≤0时,函数f(x)有唯一极值点,即f(x)有唯一极值点,故实数m的取值范围为(-∞,0].\n-10-考点1考点2考点3例2已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx(a≠0,a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若对任意x∈[1,+∞),使得f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;\n-11-考点1考点2考点3(1)解:∵f(x)=-x3+x2,∴f'(x)=-3x2+2x.\n-12-考点1考点2考点3(2)解:∵f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x,∴a(lnx-x)≥2x-x2.可得h(x)在区间(1,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增,即有h(x)的最小值为h(2)=4-2ln2>0,即φ'(x)≥0,即有φ(x)在区间[1,+∞)内是增函数,φ(x)min=φ(1)=-1,可得a≤-1.\n-13-考点1考点2考点3(3)证明:由(2)知,当a≤-1时,alnx-(a+2)x+x2≥0对x≥1恒成立,令a=-1,则lnx≤x2-x(当且仅当x=1时等号成立),\n-14-考点1考点2考点3解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.\n-15-考点1考点2考点3对点训练2已知函数f(x)=ax-lnx.(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;(2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)设切点为M(x0,f(x0)),切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),又切线过原点O,∴-ax0+lnx0=-ax0+1,由lnx0=1,解得x0=e,∴切点的横坐标为e.\n-16-考点1考点2考点3(2)∵不等式ax-lnx≥a(2x-x2)恒成立,∴等价于a(x2-x)≥lnx对∀x∈[1,+∞)恒成立.设y1=a(x2-x),y2=lnx,由于x∈[1,+∞),且当a≤0时,y1≤y2,故a>0.设g(x)=ax2-ax-lnx,当0<a<1时,g(3)=6a-ln3≥0不恒成立,当a≥1,x=1时,g(x)≥0恒成立;综上所述,a≥1.\n-17-考点1考点2考点3例3(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?\n-18-考点1考点2考点3解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增,故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.\n-21-考点1考点2考点3对点训练3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.(1)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f‘(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,1)单调递减,在区间(1,+∞)单调递增.故f(x)存在两个零点.\n-22-考点1考点2考点3③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在区间(1,+∞)单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在区间(1,ln(-2a))单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).\n-23-考点1考点2考点3(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在区间(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.\n-24-考点1考点2考点31.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,先结合不等式的结构特征,直接或等价变形后构造相应的函数,再通过导数运算判断出函数的单调性,利用单调性证明,或利用导数运算来求出函数的最值,利用最值证明.2.求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,一般是通过数形结合的思想找到解题思路,使用的知识是函数的性质,如单调性、极值等.
