第三章导数及其应用\n-2-\n3.1导数的概念及运算\n-4-知识梳理双基自测23415\n-5-知识梳理双基自测23415(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的,切线方程为.(x0,f(x0))切线的斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)\n-6-知识梳理双基自测234153.函数f(x)的导函数一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都有导数,导数为f(x)的,通常也简称为导数.导函数\n-7-知识梳理双基自测234154.基本初等函数的导数公式αxα-1cosx-sinxaxlna(a>0,且a≠1)ex\n-8-知识梳理双基自测234155.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=;(2)[f(x)·g(x)]'=;f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\n2-9-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.()(2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.()××√××\n-10-知识梳理双基自测234152.曲线f(x)=excosx在点(0,f(0))处的切线斜率为()答案解析解析关闭∵f'(x)=excosx-exsinx,∴k=f'(0)=e0(cos0-sin0)=1.答案解析关闭C\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过ts后的位移为那么速度为零的时刻是()A.0sB.1s末C.2s末D.1s末和2s末\n-12-知识梳理双基自测234154.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.答案解析解析关闭∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.答案解析关闭3\n-13-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-知识梳理双基自测23415自测点评1.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.2.f'(x0)与(f(x0))'是不一样的,f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))'=0.3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0)的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.\n-15-考点1考点2例1分别求下列函数的导数:(1)y=ex·sinx;思考函数求导应遵循怎样的原则?\n-16-考点1考点2\n-17-考点1考点2解题心得函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.\n-18-考点1考点2(2)求下列函数的导数:①y=x2sinx;对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数f'(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf'(2)+lnx,则f'(2)的值等于()D\n-19-考点1考点2解析:(1)因为f(x)=x2+3xf'(2)+lnx,\n-20-考点1考点2考向一已知过函数图象上一点求切线方程例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.思考求函数图象的切线的方程要注意什么?\n-21-考点1考点2\n-22-考点1考点2考向二已知切线方程(或斜率)求切点例3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考向三已知切线方程(或斜率)求参数的值的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m的值为()A.-1B.-3C.-4D.-2思考已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-24-考点1考点2解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.\n-25-考点1考点2CA.1B.-1C.7D.-7(2)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1(3)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.(4)(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.Dy=3xy=2x\n-26-考点1考点2(2)∵y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.(3)由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.\n-27-考点1考点2(4)设切点坐标为(x0,y0).故y0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.\n-28-考点1考点21.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.2.导数的几何意义是函数的图象在切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求在该点处的导数值k=f'(x0);(2)已知斜率k,求切点B(x',f(x')),即解方程f'(x')=k;(3)已知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点),求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0)),求导数得出斜率k=f'(x0),列出切线方程代入已知点坐标求解或利用k=求解.\n-29-考点1考点21.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)'=nxn-1与指数函数的求导公式(ax)'=axlnx混淆.2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明此直线与曲线只有一个公共点.3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.
