9.2两条直线的位置关系\n-2-知识梳理双基自测2311.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种情况.(1)两条直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).平行、相交、重合\n-3-知识梳理双基自测231(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔.A1A2+B1B2=0\n-4-知识梳理双基自测2312.两条直线的交点唯一解无解无穷多解\n-5-知识梳理双基自测2313.三种距离\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.()×××√√\n-7-知识梳理双基自测234152.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0答案解析解析关闭设所求直线方程为x-2y+c=0,将(1,0)代入得c=-1.故所求直线方程为x-2y-1=0.答案解析关闭A\n-8-知识梳理双基自测234153.已知设a为实数,直线l1:ax+y=1,l2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭由“l1∥l2”得到a2-1=0,解得a=-1或a=1,所以应是充分不必要条件.故选A.答案解析关闭A\n-9-知识梳理双基自测234154.直线l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为()A.3B.5C.-5D.-8答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234155.与直线4x+3y-5=0平行,且到它的距离等于3的直线方程是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围.2.求解点到直线的距离和两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式.\n-12-考点1考点2考点3考点4例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论?\n-13-考点1考点2考点3考点4解(1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.\n-14-考点1考点2考点3考点4综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0;由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0.故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.\n-15-考点1考点2考点3考点4(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立.当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于l2.\n-16-考点1考点2考点3考点4解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.\n-17-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为.(2)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.①l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);②l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.-10\n-18-考点1考点2考点3考点4(2)解①由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),∴此种情况不存在,∴k2≠0,即k1,k2都存在.又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.(**)联立(*)(**),解得a=2,b=2.\n-19-考点1考点2考点3考点4②∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,\n-20-考点1考点2考点3考点4例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么?\n-21-考点1考点2考点3考点4法二:∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.\n-22-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.\n-23-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=()(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为.3x+y=0B\n-24-考点1考点2考点3考点4\n-25-考点1考点2考点3考点4例3若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为()思考利用距离公式应注意的问题有哪些?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-26-考点1考点2考点3考点4解题心得利用距离公式应注意:(1)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等;(2)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|.\n-27-考点1考点2考点3考点4(2)两条平行直线5x+12y-10=0和mx+6y+2=0的距离是.对点训练3(1)(2020全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()B解析:(1)直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为.故选B.\n-28-考点1考点2考点3考点4考向一直线关于点的对称问题例4求直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程.思考有关直线关于点的对称问题该如何解?解:方法一:两条直线关于点M对称,则其中一条直线上任意一点关于M的对称点在另一条直线上,利用中点坐标公式可由两个对称点中的一点的坐标表示另一个点的坐标.设P(x,y)是待求直线上任意一点,Q(x0,y0)为点P关于点M(2,3)的对称点,则点Q在直线y=-4x+1上,代入y0=-4x0+1中,得4x+y-21=0.\n-29-考点1考点2考点3考点4方法二:由中心对称定义可知,若两条直线关于点M对称,则它们是一对与定点M距离相等的直线,利用两平行直线斜率相等及点到直线的距离公式即可求出所求直线方程.将已知直线方程y=-4x+1化为4x+y-1=0.设所求直线方程为4x+y+c=0,整理,得c=-21或c=-1(舍去).故所求直线方程为4x+y-21=0.\n-30-考点1考点2考点3考点4考向二点关于直线的对称问题例5已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A'的坐标为.思考有关点关于直线的对称问题该如何解?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-31-考点1考点2考点3考点4考向三直线关于直线的对称问题例6已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程.思考有关直线关于直线的对称问题该如何解?\n-32-考点1考点2考点3考点4解在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点M'(a,b),则又m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0.\n-33-考点1考点2考点3考点4解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在l上.3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A'(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA'的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.\n-34-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0D(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于.(3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.\n-35-考点1考点2考点3考点4解析:(1)设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.(2)以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),\n-36-考点1考点2考点3考点4根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.\n-37-考点1考点2考点3考点4(方法二)设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),\n-38-考点1考点2考点3考点41.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1∥l2⇔k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1⊥l2⇔k1·k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.\n-39-考点1考点2考点3考点43.轴对称问题(1)点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,一般可得到点P1关于直线l的对称点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).(2)直线关于直线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题.\n-40-考点1考点2考点3考点41.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的.2.讨论直线的位置关系涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形.3.“l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.\n-41-思想方法——转化思想在对称问题中的应用1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,则要看A,B两点相对直线l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求.2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求.\n-42-典例已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小;(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大.\n-43-\n-44-(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,故所求的点P的坐标为(12,10).
