9.4直线与圆、圆与圆的位置关系\n-2-知识梳理双基自测2311.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.<>==><\n-3-知识梳理双基自测2312.圆与圆的位置关系d>r1+r2无解d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一组实数解无解\n-4-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.(2)①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.\n2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为外切.()(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.()(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()√××√√\n-6-知识梳理双基自测234152.(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)已知直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相切,则m的值为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-7-知识梳理双基自测234153.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234154.圆(x-2)2+(y+1)2=4与圆(x-3)2+(y-2)2=4的位置关系是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234155.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测23415自测点评1.对于圆的切线问题,一定要区分好是过圆上一点的切线,还是过圆外一点的切线.2.利用圆这种几何图形的特殊性,多考虑用几何的方法解决位置关系、切线问题和弦长问题.\n-11-考点1考点2考点3例1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定思考在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-考点1考点2考点3解题心得1.判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用此法.(2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.若圆心到直线的距离表达较烦琐,则用此法.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点,且定点在圆内,则可判断直线与圆相交.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.\n-13-考点1考点2考点3对点训练1(1)若直线l过点A(0,a),斜率为1,圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则a的值为()(2)若过点A(4,0)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的最小值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-考点1考点2考点3例2已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过M点的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.思考如何运用圆的几何性质求解圆的切线与弦长问题?\n-15-考点1考点2考点3解(1)圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.\n-16-考点1考点2考点3\n-17-考点1考点2考点3解题心得1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.\n-18-考点1考点2考点3对点训练2(1)(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4(2)已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.①求圆C的标准方程;②设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.B\n-19-考点1考点2考点3(1)解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.\n-20-考点1考点2考点3(2)解:①设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.②当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,\n-21-考点1考点2考点3\n-22-考点1考点2考点3例3已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()思考在两圆的位置关系中,圆心距与两圆半径的关系如何?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3解题心得1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,要注重数形结合思想的应用.\n-24-考点1考点2考点3对点训练3(1)若把例3条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为.(2)若把例3条件的“外切”改为“相交”,则公共弦所在的直线方程为.(3)若把例3条件的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是.\n-25-考点1考点2考点3(2)把圆C1、圆C2的方程都化为一般方程.圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,①圆C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,②由②-①得(2a+2b)x+3+b2-a2=0,即(2a+2b)x+3+b2-a2=0为公共弦所在直线方程.\n-26-考点1考点2考点3(3)由两圆存在四条公切线,知两圆外离,故(a+b)2>9,即a+b>3或a+b<-3.故直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相离.\n-27-考点1考点2考点31.直线与圆、圆与圆的位置关系问题,考虑到圆的几何性质,一般用几何法解决.2.直线与圆、圆与圆的交点问题,要联立直线与圆的方程,或联立圆与圆的方程来解决.3.圆的切线问题:(1)过圆上一点的切线方程的求法是先求切点与圆心连线的斜率,再根据垂直关系求得切线斜率,最后通过直线方程的点斜式求得切线方程;(2)过圆外一点的切线方程的求法,一般是先设出所求切线方程的点斜式,再利用圆心到切线的距离等于半径列出等式求出所含的参数即可.若只求出一条切线方程,则斜率不存在的直线也是切线.\n-28-考点1考点2考点34.圆的弦长问题首选几何法,即利用圆的半径、弦心距、弦长的一半满足勾股定理;弦长问题若涉及直线与圆的交点、直线的斜率,则选用代数法.1.过圆外一定点作圆的切线,有两条,若在某种条件下只求出一个结果,则斜率不存在的直线也是切线.2.本节问题的解决多注意数形结合,圆与其他知识的交汇问题多注意问题的转化.3.若圆与圆相交,则可以利用两个圆的方程作差的方法求得公共弦所在直线的方程.
