第六章数列\n-2-\n6.1数列的概念与表示\n-4-知识梳理双基自测2341651.数列的定义按照排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的.一定顺序项\n-5-知识梳理双基自测2341652.数列的分类有限无限><\n-6-知识梳理双基自测2341653.数列的表示方法序号n\n-7-知识梳理双基自测2341654.数列的函数特征数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.\n-8-知识梳理双基自测2341655.数列的前n项和在数列{an}中,Sn=叫做数列的前n项和.a1+a2+…+an\n-9-知识梳理双基自测2341656.数列{an}的an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn,则S1Sn-Sn-1\n2-10-知识梳理双基自测3411.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.()(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.()(3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.()(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.()(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.()5××√××\n-11-知识梳理双基自测23412.已知数列{an}为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的是()答案解析解析关闭答案解析关闭5\n-12-知识梳理双基自测23413.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则an=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2答案解析解析关闭当n≥2时,由Sn=2an-4,得Sn-1=2an-1-4,两式相减得an=2an-2an-1,即an=2an-1.故数列{an}是公比为2的等比数列.又a1=S1=2a1-4,所以a1=4.所以an=4×2n-1=2n+1.答案解析关闭A5\n-13-知识梳理双基自测234154.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,则an=.答案解析解析关闭当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.综上,an=2n+1.答案解析关闭2n+1\n-14-知识梳理双基自测23415.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案解析解析关闭答案解析关闭5\n-15-考点1考点2考点3例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(5)5,55,555,5555,….思考如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式?\n-16-考点1考点2考点3解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式\n-17-考点1考点2考点3\n-18-考点1考点2考点3解题心得根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3例2设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.思考已知数列的前n项和Sn,求数列通项的一般方法是什么?\n-21-考点1考点2考点3解(1)令n=1时,T1=2S1-1.∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1.∴a1=1.(2)当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.∵当n=1时,a1=S1=1也满足上式,∴Sn=2an-2n+1(n≥1).∴当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,∴an=2an-1+2(n≥2).\n-22-考点1考点2考点3∴an+2=2(an-1+2)(n≥2).∵a1+2=3≠0,∴数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.∴an+2=3×2n-1,∴an=3×2n-1-2.当n=1时也满足a1=1,∴an=3×2n-1-2.\n-23-考点1考点2考点3解题心得已知数列{an}的前n项和Sn,则通项公式当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.\n-24-考点1考点2考点3对点训练2(1)(2018全国Ⅰ,理14)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为an=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-25-考点1考点2考点3考向一形如an+1=anf(n),求an例3在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.思考已知在数列{an}中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?\n-26-考点1考点2考点3\n-27-考点1考点2考点3考向二形如an+1=an+f(n),求an例4在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.思考已知在数列{an}中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?解∵an+1=an+3n+2,∴an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2\n-28-考点1考点2考点3考向三形如an+1=pan+q,求an例5已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.思考已知在数列{an}中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?解∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴数列{an+1}为等比数列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.\n-29-考点1考点2考点3考向四由含an+1与an的二次三项式求an例6已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.思考已知含有an+1与an的二次三项式的递推关系式,如何求an?\n解题心得根据给出的初始值和递推关系求数列通项的常用方法有:(1)若递推关系式为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式.(2)当递推关系式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数)时,通常解法是把原递推关系式转化为an+1-t=p(an-t),其中,再利用换元法转化为等比数列求解.(3)当递推关系式为含有an+1与an的二次三项式时,通常对递推关系式进行化简、变形,转化为等差数列或等比数列,再用公式法求-30-考点1考点2考点3\n-31-考点1考点2考点34n-1+n3n-2n\n-32-考点1考点2考点3\n-33-考点1考点2考点3\n-34-考点1考点2考点3(4)由an+1=2an+3n,得an+1-3n+1=2(an-3n).所以数列{an-3n}是首项为a1-31=-2,q=2的等比数列,所以an-3n=-2×2n-1,即an=3n-2n.\n-35-思想方法——用函数的思想求数列中项的最值数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法求得,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.\n-36-典例1已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是.答案:(-3,+∞)解析:(方法一)设f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线n=-,要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,由图象可知要满足f(1)<f(2),只需满足-,即λ>-3.(方法二)∵{an}是递增数列,∴an<an+1对任意的n∈N*恒成立,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),解得λ>-2n-1.∵(-2n-1)max=-3,∴λ>-3.\n-37-典例2已知数列{an}.(1)若an=n2-5n+4,①数列{an}中有多少项是负数?②当n为何值时,an取最小值?并求出最小值.(2)若an=-n2+kn+4,且对于n∈N*,都有an+1<an,求实数k的取值范围.解:(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列{an}中有两项是负数,即为a2,a3.又n∈N*,∴当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.\n-38-(2)由an+1<an知,该数列是一个递减数列.又通项公式an=-n2+kn+4,可以看作关于n的二次函数,考虑到n∈N*,反思提升1.如果数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数,那么可以利用二次函数图象的对称轴来研究其单调性.2.不要忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.3.数列是一种特殊的函数,但数列an=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的,如典例1中定义在正整数上的函数f(n)在满足时即为增函数,但定义在R上的f(x)不是增函数.
