数列全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分.2.考查内容(1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主.(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等. 数列的概念与简单表示法[考试要求] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an\n常数列an＋1＝an3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )(3)任何一个数列都有唯一的通项公式．( )(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1．数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为( )A．an＝±B．an＝(－1)n·C．an＝(－1)n＋1D．an＝B [由a1＝－1，代入检验可知选B．]2．在数列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，则a3＝( )A．－3B．C．5D．D [a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝.]\n3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝. [当n＝1时，a1＝S1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝]4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝.5n－4 [由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.]考点一 由an与Sn的关系求通项公式 已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1＝S1求出a1.(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝[典例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝.(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝.(1)4n－5 (2) [(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2).显然当n＝1时不满足上式，∴an＝]点评：Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．\n(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为( )A．an＝n B．an＝n2C．an＝D．an＝B [∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B．]考点二 由递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法[典例2] (1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为．(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为．(1)an＝ (2)an＝ (3)an＝2·3n－1－1 [(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，\n∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.]点评：由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解，但要理解如累加(积)法可类比等差(比)数列通项的求解方式得出，而构造法可结合等差(比)数列的定义求解．1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝. [∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝2，则＝，\n∴是以为首项，为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝.]2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝.·2n [∵an＋1＝2an＋2n＋1，∴两边同除以2n＋1，得＝＋1.又a1＝1，∴是以首项为，公差为1的等差数列，∴＝＋(n－1)×1＝n－.即an＝·2n.]考点三 数列的性质 1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．判断数列单调性的两种方法(1)作差(或商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．3．求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性判断．(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值．[典例3] (1)已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2020＝( )A．－1B．C．1D．2(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n，则数列{an}中的最大项为( )A．B．C．D．(3)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是．(1)B (2)A (3)(－3，＋∞) [(1)由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，\na3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2020＝a3×673＋1＝a1＝.(2)法一：(作差比较法)an＋1－an＝(n＋1)－n＝·，当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝.故选A．法二：(作商比较法)＝＝，令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝.故选A．(3)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3.]点评：(1)当待求的特定项am中m较大时，常考虑数列的周期性．(2)数列的单调性常借助作差(商)法求得，这一点有别于函数的单调性，因为数列是离散的，故本例(3)在求参数k的范围时务必要小心．\n1．(2020·六安模拟)数列{an}的通项公式是an＝(n＋2).，那么在此数列中( )A．a7＝a8最大B．a8＝a9最大C．有唯一项a8最大D．有唯一项a7最大A [∵＝×，令≥1，即≥1，解得n≤7.∴当n≤7时，数列{an}递增，当n＞7时，数列{an}递减，即a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞…所以a7＝a8最大，故选A．]2．(2020·雅礼中学模拟)在数列{an}中，a1＝a，an＋1＝2an－1，若{an}为递增数列，则a的取值范围为( )A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞3B [∵an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，∴＝2，又∵a1－1＝a－1，∴数列{an－1}是首项为a－1，公比为2的等比数列，∴an－1＝(a－1)2n－1，∴an＝(a－1)2n－1＋1，又∵{an}为递增数列，∴an＋1－an＝(a－1)2n－(a－1)2n－1＝(a－1)2n＞0，∴a－1＞0，∴a＞1，故选B．]
