第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题二 数列第二讲 数列求和及数列的简单应用\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n项和，难度中等偏下．2．在考查数列求和的同时，将数列与函数、不等式交汇渗透．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷全国卷乙卷19数列的前n项和与项的关系，求通项公式122020Ⅰ卷17等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和12Ⅱ卷6用等比数列求和求参数的值5Ⅲ卷17等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和10\n年份卷别题号考查角度分值2019Ⅰ卷14等比数列前n项和公式5Ⅱ卷19等差等比数列定义及通项公式12Ⅲ卷14等比数列通项公式、等差数列的前n项和公式5\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷18数列的前n项和与项的关系，判断数列是等差数列12全国卷乙卷19等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n项和公式和利用错位相减法求数列的前n项和12\n年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷16数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和5Ⅱ卷14等差数列的前n项和5Ⅲ卷17等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用102019Ⅰ卷14，18等比数列求和；等差数列的通项公式以及求和17Ⅱ卷18等比数列的通项公式、等差数列的求和12Ⅲ卷6，14等比数列的通项公式，等差数列的通项公式以及求和10\n自主先热身•真题定乾坤\n(理科)1．(2020·全国卷Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215-25，则k＝()A．2B．3C．4D．5真题热身C\n\n2．(2020·全国卷Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(-1)nan＝3n-1，前16项和为540，则a1＝______.【解析】an＋2＋(-1)nan＝3n-1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n-1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n-1.设数列{an}的前n项和为Sn，S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5…＋a15＋(a2＋a4)＋…(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，∴a1＝7故答案为7.7\n\n\n\n\n\n4．(2020·全国卷Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．【解析】(1)设{an}的公比为q，a1为a2，a3的等差中项，∵2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q-2＝0，∵q≠1，∴q＝-2.\n\n5．(2020·全国卷Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an-4n.(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.\n【解析】(1)由题意可得a2＝3a1-4＝9-4＝5，a3＝3a2-8＝15-8＝7，由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n＋1，证明如下：当n＝1时，a1＝3成立；假设n＝k时，ak＝2k＋1成立．那么n＝k＋1时，ak＋1＝3ak-4k＝3(2k＋1)-4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1也成立．则对任意的n∈N*，都有an＝2n＋1成立．\n\n(文科)1．(2020·全国卷Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215-25，则k＝()A．2B．3C．4D．5C\n\n2．(2020·全国卷Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(-1)nan＝3n-1，前16项和为540，则a1＝______.【解析】an＋2＋(-1)nan＝3n-1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n-1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n-1.设数列{an}的前n项和为Sn，S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5…＋a15＋(a2＋a4)＋…(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，∴a1＝7故答案为7.7\n3．(2020·全国卷Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝-2，a2＋a6＝2，则S10＝________.【解析】∵{an}是等差数列，且a1＝-2，a2＋a6＝2，设{an}等差数列的公差d，根据等差数列通项公式：an＝a1＋(n-1)d，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即：-2＋d＋(-2)＋5d＝2，整理可得：6d＝6，解得：d＝1.25\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1．高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n考点一 求数列的通项公式\n\n角度1公式法求数列通项记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝__________.-63典例1\n解法二：由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝-1，当n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn-Sn-1)＋1，即Sn＝2Sn-1-1，∴Sn-1＝2(Sn-1-1)，又S1-1＝-2，∴{Sn-1}是首项为-2，公比为2的等比数列，所以Sn-1＝-2×2n-1＝-2n，所以Sn＝1-2n，∴S6＝1-26＝-63.\n角度2累加法、累乘法求数列通项(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1-1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式为______________.(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝____________.an＝n2＋1典例2\n\n\n角度3构造法求数列通项已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×2n，则数列{an}的通项公式为__________________________.an＝(3n-1)·2n-1典例3\n[探究追问]若本例中的“an＋1＝2an＋3×2n”改为“an＋1＝2an＋3×5n”，其他条件不变，则数列{an}的通项公式为____________________.an＝5n-3×2n-1\n\n解法二：设an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an-3k×5n，与题中递推公式比较得k＝-1，即an＋1-5n＋1＝2(an-5n)，所以数列{an-5n}是首项为a1-5＝-3，公比为2的等比数列，则an-5n＝-3×2n-1，故an＝5n-3×2n-1.\n求数列通项公式的两种策略(1)已知Sn与an的递推关系求通项常用两个思路：一是利用Sn-Sn-1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.(2)已知an与an＋1的递推关系式求通项，通常结合关系式的特征采用累加、累乘、构造等方法．\nB\n\n2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an-2n，则Sn＝__________.n·2n\n\n数列求和的方法(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．考点二 求数列的前n项和\n\n典例4\n\n\n典例5\n\n\n数列求和的解题策略(1)解决数列求和问题，一般首先确定数列的通项公式，然后根据其结构形式，采取相适应的求解方法．(2)裂项系数取决于前后两项分母的差，裂项相消后，前、后保留的项数一样多．(3)用错位相减法求和时，要注意找准项数、开始的项和结束的项，不要漏项或加项．在错位相减后一定要注意其中各个项的结构，特别是相减后得到的和式的第一项是否可以和后续的项组成等比数列．\n\n\n\n\n\n\n\n\n明晰易错点•高考零失误\n典例1易错点一：用裂项相消法求和时漏项或添项\n\n\n\n\n典例2易错点二：错位相减法求和时项的位置处理不当致误\n\n\n【易错释疑】运用错位相减法求和的一般步骤为：一是判断模型，如本题中数列{an}，{bn}一个为等比数列，一个为等差数列；二是错开位置，如本题的④式，向右错开一个位置来书写，这样为两式相减不会看错项做准备；三是相减，如本题中相减时要注意④式中的最后一项的符号，学生常在此处出错，一定要小心．
