第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题二 数列第一讲 数列、等差数列与等比数列\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解．2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷7，18等比数列的函数特性和充要条件，等差数列的判定与证明、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式.22全国卷乙卷19等差数列的概念，性质和通项公式12\n年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷17(1)等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质5Ⅱ卷4，6等差数列前n项和有关的计算；利用等比数列求和求参数的值10Ⅲ卷17(1)求等差数列的通项公式52019Ⅰ卷14，18等比数列的基本运算；等差数列的通项公式及求和17Ⅱ卷18等比数列的通项公式、等差数列的求和12Ⅲ卷6，14等比数列的基本运算；等差数列的基本运算10\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷9，18等比数列的性质，等差数列的概念和性质17全国卷乙卷19等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n项和公式12\n年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷10等比数列基本量的计算5Ⅱ卷6等比数列的通项公式等基本量计算5Ⅲ卷17等比数列通项公式的计算，以及等差数列求和公式的应用102019Ⅰ卷14，18等比数列的基本运算；等差数列的通项公式及求和17Ⅱ卷18等比数列的通项公式、等差数列的求和12Ⅲ卷6，14等比数列的基本运算；等差数列的基本运算10\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身C\n\n2．(2021·全国卷甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B\n\nA\n\n4\n\n\n\n\n\n7．(2021·全国新高考卷Ⅱ卷)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求使Sn>an成立的n的最小值．\n\n\n(文科)1．(2021·全国卷甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A．7B．8C．9D．10【解析】∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6，由等比数列的性质，可知S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，∴4，2，S6-6成等比数列，∴22＝4(S6-6)，解得S6＝7.故选A．A\n2．(2020·全国卷Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32.故选D.D\nB\n\nA\n4\n\n7．(2020·全国卷Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3-a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.\n\n8．(2021·全国新高考卷Ⅱ卷)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a41．＝S4.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求使Sn>an成立的n的最小值．\n【解析】(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则：a3＝5a3，∴a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有：a2a4＝(a3-d)(a3＋d)＝-d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3-2d)＋(a3-d)＋a3＋(a3-d)＝-2d，从而：-d2＝-2d，由于公差不为零，故d＝2，数列的通项公式为：an＝a3＋(n-3)d＝2n-6.\n\n高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或17～19题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n考点一 等差、等比数列的基本运算\n\n1．(2021·全国高三模拟)在等差数列{an}中，已知3a1-2a2＝a3-8，则公差d＝()A．1B．2C．-2D．-1【解析】设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列通项公式计算可得．设等差数列{an}的公差为d，因为3a1-2a2＝a3-8，所以3a1-2(a1＋d)＝a1＋2d-8，解得d＝2，故选B.B\n2．在各项为正数的等比数列{an}中，S2＝9，S3＝21，则a5＋a6＝()A．144B．121C．169D．148A\n3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a9＝15，则S8-S3＝()A．30B．25C．20D．15【解析】因为a2＋a7＋a9＝a1＋d＋a1＋6d＋a1＋8d＝3(a1＋5d)＝15，所以a1＋5d＝5，即a6＝5，所以S8-S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝25，故选B.B\n4．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2C\n5．(2021·吉林市高三三模)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为()A．4.5尺B．3.5尺C．2.5尺D．1.5尺A\n\n6．(情境创新)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的数量构成一个数列{an}，则log2(a3a5)的值为()A．8B．10C．12D．16C\n\n(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．\n(2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公比(或公差)、项数、通项公式或前n项和等．\n1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8C\n\nB\n\n3．(2021·四川遂宁市高三其他模拟)等比数列{an}公比为2，a1＋a2＝3，则a2＋a3＝______.【解析】因为a2＝a1q，a3＝a2q，所以a2＋a3＝q(a1＋a2)＝2×3＝6，故答案为6.6\n1．等差数列的性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak；(2)an＝am＋(n-m)d；(3)Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差数列．考点二 等差、等比数列的性质\n\n1．(2021·陕西高三模拟)已知数列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，则a11＋a12＋a13＋…＋a19＝()A．95B．145C．270D．520C\n\n2．(2021·全国高三模拟)等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则{an}的前12项和为()A．90B．60C．45D．32C\n\n3．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a2＋a8-a4＝6，则S11＝()A．132B．108C．66D．不能确定C\n\n4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝()A．4B．-4C．±4D．5A\nA\n6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝1，S10＝3，则S15的值是______，S100的值是__________.7220-1\n应用等差、等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等差、等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．\n4．已知数列{an}的任意连续三项的和是18，并且a5＝5，a13＝9，那么a2019＝()A．10B．9C．5D．4D【解析】∵数列{an}的任意连续三项的和是18，∴数列{an}是以3为周期的周期数列．∵a5＝5，∴a2＝a5＝5，∵a13＝9，∴a1＝a13＝9，∵a1＋a2＋a3＝18，∴a3＝4，∵2019＝673×3，∴a2019＝a3＝4，故选D.\n5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为()A．-3B．1C．-3或1D．1或3C\n\n6．(2021·全国高三模拟)在等比数列{an}中，a6＋a7＝8(a3＋a4)，则{an}的公比等于____________.【解析】设{an}的公比为q，因为a6＋a7＝8(a3＋a4)，所以a3q3＋a4q3＝8(a3＋a4)，即(a3＋a4)(q3-8)＝0，可得a3＋a4＝0或q3-8＝0，所以q＝-1或q＝2.故答案为-1或2.-1或2\n考点三 等差、等比数列的判定与证明\n典例\n【解析】(1)证明：由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2-2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2①知当n≥2时，有Sn＝4an-1＋2②①-②得an＋1＝4an-4an-1，∴an＋1-2an＝2(an-2an-1)又∵bn＝an＋1-2an，∴bn＝2bn-1，∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．\n\n等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式的特征，但不能作为证明方法．(2)a＝an-1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．\n\n【解析】(理)(1)因为a1＝2，且a1、a2、a3-8成等差数列，所以2a2＝a1＋a3-8，即2a1q＝a1＋a1q2-8，所以q2-2q-3＝0，所以q＝3或q＝-1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n-1(n∈N*)；\n\n\n\n明晰易错点•高考零失误\n(2021·安徽芜湖检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝-16，S9＝-36，则Sn的最小值是__________.-42典例1易错点一：忽视数列项数n的范围\n\n\n\n典例2易错点二：错用等差数列与等比数列的性质B\n\n【易错释疑】应用等差数列的性质时常见的错误为am＋an＝am＋n；应用等比数列的性质时的错误是经常把下标应用错误．在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，am＋an＝ap＋aq；在等比数列{bn}中，当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，bmbn＝bpbq.这两个性质不能混用．\n典例3易错点三：忽视公比q的取值范围C\n\n
