2.1函数的概念及其表示第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.3.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.4.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.\n备考指导本节的重点是函数的概念及表示方法,复习时要理解函数的概念,会求函数的定义域、值域和解析式.明确分段函数的含义,会解决与分段函数有关的图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.函数的概念\n2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.\n问题思考函数的三种表示方法各有什么优缺点?\n4.区间设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:\n\n5.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.\n函数定义域的求法\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对于函数f:A→B,其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是同一个函数.()(3)函数f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点.()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.()××√×\nA.[1,2)B.(2,+∞)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)C\n3.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)等于()A.3B.0C.1D.2A由题中函数f(x)的图象可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.\n5.已知函数y=f(x)用列表法表示如下表,则f(f(2))=.B因为g(π)=0,所以f(g(π))=f(0)=0.0根据表格中的数据有f(2)=1,所以f(f(2))=f(1)=0.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1函数的基本概念例1以下给出的同组函数中,表示同一个函数的有.(填序号)③f1:y=2x;f2:如图所示.②③\n①不是同一个函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.②③是同一个函数,x与y的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一个函数的不同表示方式.解题心得两个函数是不是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一个函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示.如f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1等均表示同一个函数.\n对点训练1下列函数中,与函数y=x是同一个函数的是()B\n能力形成点2求函数的定义域命题角度1已知函数解析:式求定义域例2(1)函数的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]A(2)函数的定义域为()A.(0,2)B.[0,2)C.(0,1]D.[0,2]B由题意知,x≥0,且2-x>0,解得0≤x<2,故其定义域是[0,2).\n命题角度2求抽象函数的定义域例3若函数y=f(x)的定义域是[0,4020],则函数的定义域是()A.[-1,4019]B.[-1,1)∪(1,4019]C.[0,4020]D.[-1,1)∪(1,4020]B使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤4020,解得-1≤x≤4019,故函数f(x+1)的定义域为[-1,4019].解得-1≤x<1或1<x≤4019.故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,4019].\n拓展延伸本例中,若将“函数y=f(x)的定义域为[0,4020]”改为“函数f(x-1)的定义域为[0,4020]”,则函数的定义域为.[-2,1)∪(1,4018]由函数f(x-1)的定义域为[0,4020],得函数y=f(x)的定义域为[-1,4019],所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,4018].\n解题心得1.函数的定义域是使其解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),这个不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.2.由实际问题求得的函数的定义域,除了要考虑函数的解析式有意义外,还要使实际问题有意义.3.求抽象函数的定义域要注意(1)若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域;(2)若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在区间(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.\n对点训练2(1)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)D要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为,则函数y=f(x)的定义域为.[-1,2]\n能力形成点3求函数的解析:式\n\n\n解题心得函数解析式的求法:(1)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(2)换元法.已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)方程法.已知关于f(x)与或f(-x)的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).提醒:因为当两个函数的解析式相同,定义域不同时,为不相同的函数,所以求函数的解析式时,如果函数的定义域不是R,那么一定要注明函数的定义域.\nB(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=.2x+7设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17对任意x都成立,\n能力形成点4分段函数命题角度1求分段函数的函数值A\n命题角度2已知分段函数的解析式求参数的值例6已知函数若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为()A.-3B.-1C.1D.3A因为f(1)=2,所以f(a)=-f(1)=-2.当a>0时,f(a)=2a=-2,无解;当a≤0时,f(a)=a+1=-2,得a=-3.综上,a=-3,故选A.\n命题角度3已知函数值的范围求其自变量的范围\n解题心得1.分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,再求出相应自变量的值,切记要代入检验.2.解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.\nC\nD\n[-4,2]\n第三环节 学科素养提升\n求函数的值域\n\n\n\n\n\n解题心得求函数值域的常用方法(1)观察法:有些函数的结构简单,可以先观察其解析式,并进行简单变形,利用熟知的函数的值域,求出原函数的值域.(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的图象求值域.(3)解方程法:将函数视为关于自变量的一元二次方程,利用判别式求函数值的取值范围,常用于一些分式函数、无理函数等.使用此法要特别注意自变量的取值范围.\n
