函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为1～3个客观题.2.考查内容高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算，指数函数、对数函数的图象与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容. 函数及其表示[考试要求] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念函数映射两集合设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合\nA，B对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应定义称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A映射f：A→B提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常见函数定义域的求法类型x满足的条件\n(n∈N*)f(x)≥0(n∈N*)f(x)有意义与[f(x)]0f(x)≠0logaf(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0af(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f(x)]f(x)≠＋kπ，k∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．( )(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数．( )(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )(5)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、教材习题衍生1．函数y＝＋的定义域为( )A．B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．∪(3，＋∞)D．(3，＋∞)C [由题意知解得x≥且x≠3.]2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )A．y＝()2B．y＝＋1\nC．y＝＋1D．y＝＋1B [y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B．]3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为( )A．－1B．－C．1D．2C [由题意知解得a＝1，故选C．]4．已知f(x)＝＋，若f(－2)＝0，则a的值为________．1 [f(－2)＝＋＝0，即＝－1，解得a＝1.]考点一 求函数的定义域1．已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围． 已知函数解析式求定义域[典例1－1] (1)函数y＝的定义域是( )\nA．(－1,3)B．(－1,3]C．(－1,0)∪(0,3)D．(－1,0)∪(0,3](2)函数y＝＋(2x－5)0的定义域为________．(1)D (2) [(1)由题意知即解得－1＜x＜0或0＜x≤3，故选D．(2)由题意知即，解得2＜x＜3且x≠，即函数的定义域为 求抽象函数的定义域[典例1－2] (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为( )A．(－2,0)B．(－2,2)C．(0,2)D．(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．(1)C (2)[－1,2] [(1)由题意得即解得0＜x＜2，即函数g(x)的定义域为(0,2)，故选C．(2)由题意知－≤x≤，则－1≤x2－1≤2，即函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]点评：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围，如本例T(2)．1．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________，f(log2x)的定义域为________． [，4] [由－1≤x≤1得2－1≤2x≤2，即≤2x≤2，所以f(x\n)的定义域为，由≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log222，得≤x≤4，所以函数f(log2x)的定义域为[，4]．]2．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________． [由－x－x2＞0得－1＜x＜0，即f(x)的定义域为(－1,0)，由－1＜2x＋1＜0得－1＜x＜－，所以函数f(2x＋1)的定义域为.]考点二 求函数的解析式 求函数解析式的四种方法[典例2] (1)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(2)已知f(1－sinx)＝cos2x，则f(x)的解析式为________．(3)已知f＝x2＋，则f(x)＝________.(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x\n)＝________.(1)f(x)＝x2－x＋3 (2)f(x)＝2x－x2(0≤x≤2) (3)x2－2(x≥2或x≤－2) (4)＋ [(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以所以所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.(2)(换元法)令1－sinx＝t(0≤t≤2)，则sinx＝1－t，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，∴f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．(3)(配凑法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(4)(解方程组法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，由解得f(x)＝＋.]点评：利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.2x＋7 [(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以解得所以f(x)＝2x＋7.]2．已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．\nf(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [令＝t，则t＝1＋，t≠1，所以＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]3．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________. [由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，即f(x)＝.故f(x)的解析式是f(x)＝.]考点三 分段函数及其应用 1.分段函数求值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．2．求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．3．分段函数与不等式问题解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解． 分段函数的求值问题\n[典例3－1] (1)(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )A．－ B．2 C．4 D．11(2)设函数f(x)＝则f(5)的值为( )A．－7B．－1C．0D．(1)C (2)D [(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C．(2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D．] 求参数或自变量的值[典例3－2] (1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.(2)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝________.(1)－ (2)8 [(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解；当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.(2)由题意得a＞0.当0＜a＜1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，则f＝f(4)＝8，当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．所以f＝8.]点评：本例T(1)可根据函数值的范围确定a＞1.本例T(2)可根据单调性确定a≥1不可能成立． 分段函数与不等式问题[典例3－3] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是( )\nA．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)D [法一：分类讨论法①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)，即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当时，不等式组无解．③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)，即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f(x)＝∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或∴x＜0.]点评：本例也可分x≤－1，－1＜x≤0，x＞0三种情况求解．1．已知f(x)＝则f＋f的值等于( )A．－2B．4C．2D．－4B [由题意得f＝2×＝，f＝f＝f＝2×＝，\n所以f＋f＝4.]2．设f(x)＝，若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )A．2B．4C．6D．8C [当0＜a＜1时，a＋1＞1，则f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，解得a＝，从而f＝f(4)＝2×(4－1)＝6，当a≥1时，a＋1＞1，又函数f(x)＝2(x－1)，x≥1为增函数．因此f(a)＝f(a＋1)不成立，故选C．]3．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________． [①当x≤0时，x－＜0，则f(x)＝x＋1，f＝x－＋1＝x＋，由f(x)＋f＞1得(x＋1)＋＞1，解得x＞－.又x≤0，所以－＜x≤0.②当0＜x≤时，x－≤0，则f(x)＝2x，f＝x－＋1＝x＋，从而f(x)＋f＝2x＋＞1恒成立．③当x＞时，x－＞0，则f(x)＝2x，f＝2，从而f(x)＋f＝2x＋2＞1恒成立．综上知x的取值范围是.]核心素养1 用数学眼光观察世界——与高等数学接轨的三类函数\n高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养.欧拉公式(2020·郑州模拟)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [由题意得e2i＝cos2＋isin2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cos2，sin2)．因为2∈，所以cos2＜0，sin2＞0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B．][评析] 此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置．已知欧拉公式为eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，若α∈(0,2π)，且e－iα表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sinα＋cosα的取值范围是( )A．(1，]B．[－，]C．(－1,1)D．[－，－1)C [因为e－iα＝cos(－α)＋isin(－α)＝cosα－isinα，所以结合题意可知点(cosα，－sinα)位于复平面的第三象限内，所以cosα＜0且－sinα＜0，又α∈\n(0,2π)，所以α∈，所以α＋∈，所以sin∈.故sinα＋cosα＝sin∈(－1,1)．故选C．]高斯函数(2020·长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域是( )A．{0,1}B．(0,2)C．(0,1)D．{－1,0,1}A [法一：因为f(x)＝＝＝2－∈(0,2)，所以当f(x)∈(0,1)时，y＝[f(x)]＝0；当f(x)∈[1,2)时，y＝[f(x)]＝1.所以函数y＝[f(x)]的值域是{0,1}．故选A．法二：因为y＝[f(x)]不可能为小数，所以排除B，C；又2x＞0，所以f(x)＝＞0，所以y＝[f(x)]≠－1，排除D．选A．][评析] 求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算． (2020·淄博一模)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2.其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)\n①④ [①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3,2＋(－3)≠0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2,0＜－x＋1≤2，∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2；当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0；所以[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2，故正确．]狄利克雷函数(2020·上海徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f(x)有如下四个命题：①f(f(x))＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4C [对于①，当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，故①是假命题．对于②，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，所以，无论x是有理数还是无理数，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故②是真命题．对于③，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝0，故③是真命题．对于④，当A，B，C三点满足A，B(0,1)，C时，△ABC为等边三角形，故④是真命题．综上所述，真命题的个数是3.故选C．]\n[评析] 破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注意理解集合∁RQ表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题意的条件．(2020·陕西长安一中3月质检)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为( )A．0B．1C．0或1D．无法求B [若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1.若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B．]
