5.4数列求和第五章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法.2.掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决与前n项和相关的问题.备考指导数列求和是数列问题的核心考点,一般在解答题的第二问中考查,常涉及错位相减法、裂项相消法、分组转化法等,复习时需针对通项公式的特点总结规律,准确进行计算.常用到转化化归思想,对数学运算核心素养渗透较多.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】\n2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:一个数列的前n项中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.\n(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项公式:\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.()(2)已知Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位相减法.()(3)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()(4)已知等差数列{an}的公差为d,则有.()(5)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25.()√√√×√\n2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-23.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10等于()A.15B.12C.-12D.-15CA因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.\n1010\n\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1分组求和与并项求和例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{bn}的公差为d.由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,解得q=3(q=1舍去),d=2,故an=3n,bn=2n+1.\n(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.\n解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列的前n项和.2.具有下列特点的数列适合分组求和:(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{an}的前n项和;(2)通项公式为的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.\n\n\n能力形成点2错位相减法求和例2已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和数列{an}的通项公式;(2)设,求数列{bn}的前n项和.\n解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,因为an+2=qan,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,所以a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.\n\n解题心得1.一般地,数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.\n对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3.(1)证明数列{an-1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.(1)证明∵数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,①∴a1=S1=2a1+1-3,解得a1=2.∴当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-3.②由①-②,得an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1).又a1-1=1,∴数列{an-1}是以1为首项,以2为公比的等比数列.∴an-1=2n-1,即an=2n-1+1.\n\n能力形成点3裂项相消法求和例3已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an>0,S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;\n解(1)∵S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项,∴2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5,∴S6+a6-S4-a4=S5+a5-S6-a6,化简得,4a6=a4.设等比数列{an}的公比为q,\n解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.\n对点训练3各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列{an}的通项公式an;\n\n第三环节 学科素养提升\n函数思想在数列问题中的应用典例已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过点(-1,0),且在x=-1处的切线斜率为-1.设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;\n解:(1)函数f(x)=ax2+bx的图象经过点(-1,0),则a-b=0,即a=b.①因为f'(x)=2ax+b,且函数f(x)=ax2+bx的图象在x=-1处的切线斜率为-1,所以-2a+b=-1.②由①②得a=1,b=1,所以数列{an}的前n项和Sn=f(n)=n2+n(n∈N*).当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1),所以an=Sn-Sn-1=2n;当n=1时,a1=2符合上式,则an=2n.\n解题心得1.已知函数条件解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题.2.已知数列条件解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的概念、公式、求和方法对式子化简变形.3.解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决.\n\n\n
