6.4数列求和\n-2-知识梳理双基自测2311.基本数列求和方法\n-3-知识梳理双基自测2312.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.\n-4-知识梳理双基自测231(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.\n-5-知识梳理双基自测231\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.()(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位相减法求得.()(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()()(6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25.()×√√√×√\n-7-知识梳理双基自测234152.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测23415则项数n的最大值为()A.98B.99C.100D.101答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234154.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于()A.18B.24C.60D.90答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P61TA4(3))1+2x+3x2+…+nxn-1=(x≠0,且x≠1).答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.含有参数的数列求和,常伴随着分类讨论.2.在错位相减法中,两式相减后,构成等比数列的有(n-1)项,整个式子共有(n+1)项.3.用裂项相消法求和时,裂项相消后,前面剩余几项,后面就剩余几项.4.数列求和后,要注意化简,通常要进行通分及合并同类项的运算.\n-12-考点1考点2考点3例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适合分组求和?\n-13-考点1考点2考点3解(1)设等差数列{bn}的公差为d.由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.\n-14-考点1考点2考点3解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列前n项和.2.具有下列特点的数列适合分组求和(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和;(2)通项公式为的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.\n-15-考点1考点2考点3对点训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,∴an=2n+1,bn=2n-1.\n-16-考点1考点2考点3\n-17-考点1考点2考点3例2已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?\n-18-考点1考点2考点3\n-19-考点1考点2考点3解题心得1.一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.\n-20-考点1考点2考点3对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.\n-21-考点1考点2考点3(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,得Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.\n-22-考点1考点2考点3例3设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;思考裂项相消法的基本思想是什么?解:(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.\n-23-考点1考点2考点3解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.\n-24-考点1考点2考点3对点训练3已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an>0(n∈N*),S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)∵S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项,∴2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5,∴S6+a6-S4-a4=S5+a5-S6-a6,化简,得4a6=a4.\n-25-考点1考点2考点3\n-26-考点1考点2考点31.数列求和,一般应从通项入手,若通项未知,先求通项,再通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.2.解决非等差、非等比数列的求和,主要有两种思路.(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成;(2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.\n-27-考点1考点2考点31.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围.2.在应用错位相减法求和时,注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法求和时,要注意消项的规律具有对称性,即前面剩多少项,后面就剩多少项.
