第一章集合、常用逻辑用语、不等式\n第5讲一元二次不等式及其解法\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_______零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的_________.(3)当_______时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的_______确定一元二次不等式的解集．大于判别式Δ≥0交点\n知识点二 三个二次之间的关系\n两相异两相等没有x>x2或x<x1x≠x1Rx1<x<x2∅∅\n1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．\n\n5．简单的指数与对数不等式的解法(1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)．(2)若a>1，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；若0<a<1，logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式(x＋1)(2－x)<0的解集为(－1，2)．()(2)若关于x的二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2，且a<0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()×××\n√×\nB\n3．(必修1P55T3改编)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于()A．{x|－2<x<3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x<－2}∪{x|x>3}D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}[解析]∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．故选B．B\n4．(必修1P55T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是__________________________________.\n题组三 走向高考5．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是________.\n考点突破·互动探究\n角度1不含参数的不等式解下列不等式(1)－2x2＋x＋3<0；(2)x2－2x＋2>0.[分析](1)将二次项系数化为正数，变为2x2－x－3>0，求方程2x2－x－3＝0的根，若无根，则解集为R，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集．例1考点一一元二次不等式的解法——多维探究\n\n解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．\n角度2含参数的不等式解下列关于x的不等式：(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)；例2\n\n\n[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？\n[引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况．\n含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．\n(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．\n〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B等于()A．{－4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}(2)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)[解析](1)∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4，1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}．D\n(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a<x<1}．\n例3考点二三个二次间的关系——师生共研B\nA\n[分析](1)利用根与系数的关系求解．(2)令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2＋ax－2≤0在区间[1，5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．\n\n\n\n[引申]若不等式x2＋ax－2<0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是____________.(－∞，1)\n已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．\nA\n(2)(2022·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)A\n\n\n(2)解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A．解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A．\n已知f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对于|m|≤1，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．[分析](1)二次项系数含有字母m，应分m＝0和m≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式，根据一次函数的性质求解．例4考点三一元二次不等式恒成立问题——师生共研\n\n\n\n\n\n2．在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可；(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．\n\n〔变式训练3〕(1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为()A．(－∞，3)B．(－1，3)C．[－1，3]D．(－1，3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0，1]恒成立，则有()A．m≤－3B．m≥－3C．－3≤m<0D．m≥－4DA\n(3)已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．{x|1<x<3}B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2}D．{x|x<1或x>2}B\n\n名师讲坛·素养提升\n一元二次方程根的分布情况设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．\n表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)\n\n\n\n\n表二：(两根与k的大小比较)\n\n\n\n\n表三：(根在区间上的分布)\n\n\n\n\n根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是\n\n\n若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．(1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内；(2)一根在(－1，1)，另一根不在(－1，1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1，3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1，2)内有解．例5\n\n\n\n\n\n\n\n〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是___________.(2)若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k的取值范围为_________________.(－2，1)\n
