专题7.2一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C 集合一元二次不等式 √对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划 √ 基本不等式 √ 【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3.若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是______________.8\n题组二 常错题5．不等式x(2－x)>0的解集为________．【解析】由不等式x(2－x)＞0，得不等式x(x－2)＜0，则0＜x＜2.6．不等式(ax－1)(x－2)＜0(a≤0)的解集是________．【解析】当a<0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为(x－2)>0，解得x＜或x>2；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.7．不等式≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于解得－＜x≤1.题组三 常考题8．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________________．【解析】集合A＝(1，3)，B＝，所以A∩B＝.9．不等式2x2－x＜4的解集为________．【解析】因为2x2－x<4＝22，所以x2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，则m的取值范围是________．【解析】要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则⇒－4＜m＜0，所以m的取值范围为－4＜m≤0.【知识清单】考点1一元二次不等式的解法对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或8\n的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根考点2一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式对任意实数恒成立⇔或(2)不等式对任意实数恒成立⇔或当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值．考点3一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.8\n一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1一元二次不等式的解法【1-1】不等式的解集为，则.【答案】a=－4，b=－9【解析】不等式的解集为，为方程的两根，则根据根与系数关系可得，.【1-2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为.【答案】解为；【1-3】已知函数若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】或，∴或，∴或，∴.【1-4】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是.【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4.【1-5】解不等式8\n【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论.考点2一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】[－1,4]【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.【2-2】若不等式的解集是R，则m的范围是.【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x的取值范围是.【答案】8\n【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x的范围是.【2-4】若不等式成立的一个充分条件是，则实数的取值范围应为.【答案】【解析】记，因为不同时为，所以仅需.【2-5】在上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是.【答案】【解析】根据定义可得不等式为即，此不等式对任意实数都成立，所以，从中解得.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．8\n【答案】【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)车速x(km/h)之间有如下关系：，.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．8\n3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．8
