第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第四讲 幂函数与二次函数\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 幂函数{x|x≥0}{x|x≠0}\n{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇\n(－∞，0)(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)(1，1)\n知识点二 二次函数的图象和性质\n\nb＝0\n1．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．\n×√×√×\n(0，＋∞)\n1或2\n4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_____0，ac_____0，a－b＋c_____0.><<2\n[解析]本题主要考查幂函数的图象和性质．∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.－1\n考点突破·互动探究\n例1考点一幂函数图象与性质——自主练透AD\n(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>cB\nB\n\n\n(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．\n考向1二次函数的解析式——师生共研已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．例2考点二二次函数的图象与性质\n\n\n\n\n根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：\n〔变式训练1〕(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1，0)，则函数的解析式为f(x)＝________________.(2)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为__________________.f(x)＝x2－2x＋3\n\n\n\n\n考向2二次函数的图象和性质——多维探究角度1二次函数的图象(1)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是()例3C\n(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是_______(填序号)．①④\n\n二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．\n角度2利用二次函数的图象和性质求最值已知f(x)＝x2－2x＋5.(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为____；(2)若x∈[－1，2]，则函数f(x)的最小值为____，最大值为____；(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为___________.[分析]对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．例4448\n[解析](1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，∴f(x)的最小值为4.(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1，2]，∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.\n\n[引申]在(3)的条件下，求f(x)的最大值．\n二次函数求最值问题，一般先用配方法化成形如y＝a(x＋b)2＋c的形式，若x∈R，a>0，则ymin＝c，若x∈R，a<0，则ymax＝c.当定义域不是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称轴确定，区间不确定(含参)．(2)(3)两类问题，通常要把－与区间端点、中点比较，分类求解．\n角度3二次函数中的恒成立问题已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于∀x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若∃x∈[－1，1]，f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．[解析](1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，1]．例5\n(2)因为对于∀x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.当－1<－a<1，即－1<a<1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1.当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1.综上可得，实数a的取值范围是[－3，1]．\n(3)∃x∈[－1，1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.综上可得，实数a的取值范围是R.[探究]本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．\n恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．\nC\n(2)(角度2)(2021·珠海模拟)已知函数y＝x2－4x＋5在闭区间[0，m]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是()A．[0，1]B．[1，2]C．[0，2]D．[2，4](3)(角度3)(2021·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是______________.D(－∞，－1)\n\n(3)方法1：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．\n方法2：f(x)>2x＋m等价于m<x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，其图象的对称轴x＝>1，所以g(x)在区间[－1，1]上递减，则g(x)在区间[－1，1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．\n名师讲坛·素养提升\n转换变量——解决二次函数问题中的核心素养已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2，对∀a∈[－1，1]都有f(x)>0恒成立，求实数x的范围．例6\n本题将变量x转化为常数，实数a转化为变量a，巧妙地解决了问题．因此，认真审题，分清变量与常量是解决本题的关键．\n〔变式训练3〕已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.[解析]当x0∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1，3]．因为对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，\n
