课时提升练(七) 二次函数与幂函数一、选择题1．幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，则函数f(x)的单调增区间是( )A．(－2，＋∞)B．[－1，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】 由题意知4＝2α，∴α＝2，∴f(x)＝x2，其在[0，＋∞)上递增．【答案】 C2．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2－4x＋4C．f(x)＝2xD．f(x)＝logx【解析】 由题意f(x)在(0，＋∞)上为增函数，只有C满足．【答案】 C3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】 当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，由题意有∴a>.【答案】 C4．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图242A．①y＝x，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x－15\nD．①y＝x，②y＝x，③y＝，④y＝x－1【解析】 图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.【答案】 B5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]【解析】 y＝(x－1)2＋2，由x2－2x＋3＝3得x＝0或x＝2，∴1≤m≤2，故选C.【答案】 C6．设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c【解析】 a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞c.【答案】 D7．(2022·沈阳质检)若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数为( )A．0B．1C．2D．不能确定【解析】 由已知得b2＝ac(a，b，c≠0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点．【答案】 A8．(2022·东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x，y＝(x－1)2，y＝x3中有三个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f(x)＝3x－2x－3，则方程f(x)＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为( )A．1B．2C．3D．4【解析】 ①在区间(0，＋∞)上，只有y＝x，y＝x3是增函数，故①错；由logm3<logn3<0得log3n<log3m<0，5\n∴0<n<m<1，②正确；③显然正确；画图(略)可知y1＝3x与y2＝2x＋3的图象有两个交点，④正确．【答案】 C9．(2022·山东省实验中学模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是( )A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定【解析】 函数图象的对称轴为x＝－1，而(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝3－a>0，因为x1<x2，故x2到对称轴的距离大，所以f(x2)较大．【答案】 A10．已知对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )A．1<x<3B．x<1或x>3C．1<x<2D．x<2或x>3【解析】 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，记g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，由题意即解得x<1或x>3.【答案】 B11．(2022·安徽六校教育研究会素质测试)定义：符合f(x)＝x的x称为f(x)的一阶不动点，符合f(f(x))＝x的x称为f(x)的二阶不动点．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，若函数f(x)没有一阶不动点，则函数f(x)二阶不动点的个数为( )A．四个B．两个C．一个D．零个【解析】 ∵f(x)开口向上，且它没有不动点，∴f(x)＞x，∴f(f(x))＞f(x)＞x，即f(x)也没有二阶不动点．【答案】 D12．(2022·辽宁高考)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )A．16 B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－165\n【解析】 f(x)的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的顶点坐标(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上，图象如图，由题意知，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A－B＝(－4a－4)－(－4a＋12)＝－16.【答案】 B二、填空题13．若函数f(x)是幂函数，且＝3，则f＝________.【解析】 设f(x)＝xn，则＝＝2n＝3，∴f＝n＝＝.【答案】 14．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．【解析】 设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，当x＝1时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1，∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.【答案】 y＝－x2＋2x＋815．(2022·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.【解析】 若a＞0，则f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝.若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．【答案】 16．已知函数f(x)＝x，给出下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)>x2－x1；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，则<f.其中正确命题的序号是________．5\n【解析】 对于①，f(x)＝x是增函数，f(1)＝1，当x>1时，f(x)>1，①正确；对于②，>1，可举例(1,1)，(4,2)，故②错；对于③，<，说明图象上两点x1，x2到原点连线的斜率越来越大，由图象可知，③错；对于④，<f，根据图象可判断出④正确．【答案】 ①④5
