第三章导数及其应用\n第二讲 导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点 函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内_______，若f′(x)_____0，则f(x)为增函数，若f′(x)_____0，则f(x)为减函数．可导><\n(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：①确定f(x)的_________；②求导数f′(x)；③令f′(x)_____0(或f′(x)_____0)，解出相应的x的范围；④当____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当____________时，f(x)在相应区间上是减函数．定义域><f′(x)>0f′(x)<0\n导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．()(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()××√\n×\n\n题组二 走进教材2．(选修2P89T3改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增B．在区间(1,3)上f(x)单调递减C．在区间(4,5)上f(x)单调递增D．在区间(3,5)上f(x)单调递增[解析]在区间(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(4,5)上单调递增．C\nB[解析]y′＝－xsinx，经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立，∴y＝xcosx－sinx在(π，2π)上单调递增．\n4．(选修2P99T12改编)已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是()A．f(2)>f(3)>f(π)B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3)D．f(π)>f(3)>f(2)[解析]f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D．D\nC\n\n考点突破·互动探究\n考向1不含参数的函数的单调性——自主练透(1)函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)(2)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)例1考点函数的单调性AD\n(－∞，0)(0,1)\n\n\n用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：(1)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，根据函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，根据函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．\n(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．\n考向2含参数的函数的单调性——师生共研(2021·全国甲文，20,12分)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．例2\n\n\n\n(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．\n\n\n\n\n例3CD\n\n角度2解不等式已知f(x)＝2(x＋1)－cosx，则不等式f(lnx－1)<1的解集为()A．(0，e)B．(1，＋∞)C．(e，＋∞)D．(1，e)[解析]由f′(x)＝2＋sinx>0，得函数f(x)在R上单调递增，又f(0)＝2－cos0＝1，故不等式f(lnx－1)<1可化为f(lnx－1)<f(0)，得lnx－1<0，解得0<x<e.故选A．例4A\n角度3已知函数的单调性求参数取值范围若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)[分析]利用函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立求解．或利用区间(1，＋∞)是f(x)的增区间的子集求解．例5D\n\n\n[引申]本例中(1)若f(x)的增区间为(1，＋∞)，则k＝____；(2)若f(x)在(1，＋∞)上递减，则k的取值范围是_____________；(3)若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是_________；(4)若f(x)在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是____________；(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是___________________.1(－∞，0](0,1)(－∞，1)\n\n\n已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．\n\nD(0,1)\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例6(2，＋∞)B\n\n[解题指导]注意到a，b为同底的对数值，考虑用对数函数的单调性比较大小，c与a、b的结构不同，可构造与lnx相关的不等式，放缩后再比较大小．例7B\n\n\n\n\n\n\n\n\nC\nB\n\n
