第三章导数及其应用\n第二讲 导数在研究函数中的应用第二课时 导数与函数的极值、最值\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 函数的极值1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)_____f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)_____f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．<>\n(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x)_____0，x>x0有f′(x)_____0，那么f(x0)是极大值．如果x<x0有f′(x)_____0，x>x0有f′(x)_____0，那么f(x0)是极小值．><<>\n2．求可导函数f(x)极值的步骤(1)_______________；(2)______________________；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的_____________的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得_________；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得_________.求导数f′(x)求方程f′(x)＝0的根根左右的值极大值极小值\n知识点二 函数的最值1．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在___________上连续，在_________内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值．[a，b](a，b)\n3．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1)_________________________；(2)_____________________________________________________________________________．求f(x)在(a，b)内的极值将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值\n1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．\n3．极值与最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()(2)函数的极大值不一定比极小值大．()(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()×√√√\n[解析](1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较．(2)如图，在x1处的极大值点比在x2处的极小值点小．\n(3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．(4)如图知正确．\n题组二 走进教材2．(选修2P92T1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．A\n3．(选修2P98T5改编)(2021·河北武邑中学月考)函数y＝lnx－x的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值A\n\n4．(选修2P98T6改编)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－eB．－1C．－eD．0B\n题组三 走向高考5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A．A\n6．(2021·新高考Ⅰ，15,5分)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为____.1\n\n考点突破·互动探究\n角度1根据函数图象判断极值(多选题)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值例1考点一用导数求解函数极值问题——多维探究BC\n[解析]由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．\n[分析]求导，研究函数的单调性从而确定极值．例2\n\n\n可导函数求极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．\n例3D(－∞，－1]\n\n\n函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．\n〔变式训练1〕(1)(角度1)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(a)>f(c)B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值D．函数f(x)的最小值为f(d)C\n(2)(角度2)(2021·河南中原名校质量检查)已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为()A．2B．2ln2－2C．eD．2－e(3)(角度3)(2021·广东肇庆第二次检测)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，1)BD\n[解析](1)由图可知x∈[a，c]时f′(x)≥0，f(x)单调递增，又a<b<c，∴f(a)<f(b)<f(c)，A错；x<c时，f′(x)>0，f(x)递增；c<x<e时，f′(x)<0，f(x)递减，x>e时，f′(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，B错，C对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，∴f(d)不是最小值，D错，故选C．\n\n例4考点二用导数求函数的最值——师生共研\n\n\n1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解．注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．\n[解析](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例5\n\n\n\n\n\n利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤提醒：在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解．\n\n\n
