活页作业 函数的单调性与最值一、选择题1．(2022·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝ D．y＝x|x|解析：选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，不是增函数；选项C是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项D，取绝对值号，变为分段函数，符合题意．答案：D2．(文)函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是( )A．1 B．3 C．5 D．－1解析：依题意可得对称轴x＝＝1，∴a＝5.答案：C3．(2022·惠州模拟)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7解析：如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2,10－x)(x4\n≥0)的图象(如图实线部分)．∴f(x)＝令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.答案：C4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故选C.答案：C6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A．最大值是f(1)，最小值是f(3)B．最大值是f(3)，最小值是f(1)C．最大值是f(1)，最小值是f(2)D．最大值是f(2)，最小值是f(3)解析：依题意得f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．由f(x)在[3,5]上是增函数与f(x)的图象关于直线x＝1对称得，f(x)在[－3，－1]上是减函数．又函数f(x)是以4为周期的函数，因此f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)在[1,3]上的最大值是f(1)，最小值是f(3)．答案：A4\n二、填空题7．(理)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．解析：据题意使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：⇔≤a<.答案：7．(文)若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a<3a－1≤1，解得<a≤，此即为a的取值范围．答案：<a≤8．(2022·九江模拟)若函数f(x)＝ax2＋x＋1的值域为R，则函数g(x)＝x2＋ax＋1的值域为________．解析：要使f(x)的值域为R，必有a＝0，于是g(x)＝x2＋1，值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)9．(金榜预测)已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2,2])，函数g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，∀x1∈[－2,2]，总∃x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是________．解析：只需要函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集即可．(1)当a＞0时，g(x)＝ax－1单调递增．∵x∈[－2,2]，∴－2a－1≤g(x)≤2a－1，要使条件成立，只需∴∴a≥.(2)当a＜0时，g(x)＝ax－1单调递减．∵x∈[－2,2]，∴2a－1≤g(x)≤－2a－1，要使条件成立，只需∴∴a≤－.综上，a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．答案：(－∞，－]∪[，＋∞)三、解答题4\n10．(2022·新余模拟)已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．∴a的取值范围为(－∞，3]．4
