第十章计数原理、概率、随机变量及其分布\n高考大题规范解答系列(六)——概率与统计\n(2022·吉林长春质检)水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆．现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训．(1)若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；例1考点一离散型随机变量的分布列与期望\n(2)若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数．设从五棵松抽出的人数为X，求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X)．\n\n\n【评分细则】①正确求出概率得4分，正确求出来自同一场馆的概率各得1分；②正确求出各种情况下抽调方法数各得1分；③正确求出各种抽调情况的概率各得1分；④正确求出E(X)得2分，求错但正确写出分布列得1分．\n【名师点评】1．核心素养：这类题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、方差的应用、二项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想，考查的核心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析．2．解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，注意计数原理、排列、组合等知识的应用，注意正难则反的思想；三是会利用公式求特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决决策型问题．\n〔变式训练1〕(2021·全国高考真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．\n(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．\n\n2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，陕西省56个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如下表所示：例2考点二线性回归分析年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代号x12345经济收入y(单位：百万元)58131820\n2016年、2020年经济收入构成比例：(1)根据上表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业、种植业收入变化情况；(2)求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．\n\n\n\n\n\n【名师点评】1．核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查数学的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算．2．解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高识图与用图的能力．\n〔变式训练2〕(2022·安徽蚌埠质检)经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0<x≤10，x∈N)与每辆的销售价格y(单位：万元)进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5(1)试求y关于x的回归直线方程；\n(2)已知每辆该型号汽车的收购价格ω(单位：万元)与使用年数x(0<x≤10，x∈N)的函数关系为ω＝0.05x2－1.75x＋17.2，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.\n\n(2)由题意，z＝y－ω＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，其中0<x≤10，且x∈N，z＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05(x－3)2＋1.95，所以预测x＝3时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大．\n(2022·广东深圳罗湖区质检)某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人．(1)完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为运动量达标与性别有关.例3考点三独立性检验运动量达标运动量未达标合计男生人数女生人数合计\n\n\n\n\n\n【评分细则】①按要求完成2×2列联表，给2分；②根据公式正确求出2的值，给2分；③借助于临界值表作出判断，给1分；④算对运动达标的男生的概率、正确写出X的可能值，各给0.5分；⑤正确算出P(X＝0)、P(X＝1)、P(X＝2)、P(X＝3)，各得1分；\n\n【名师点评】1．核心素养：茎叶图及独立性检验是高考命题的重点，在每年的高考试题都以不同的命题背景进行命制．此类问题主要考查学生的分析问题和解决实际问题的能力，同时考查“数据分析”的数学核心素养．2．解题技巧：(1)审清题意：弄清题意，理顺条件和结论；(2)找数量关系：把图形语言转化为数字，找关键数量关系；(3)建立解决方案：找准公式，将2×2列联表中的数值代入公式计算；(4)作出结论：依据数据，借助临界值表作出正确判断．\n〔变式训练3〕(2022·湖北武汉部分重点中学摸底、安徽十校联盟联考)疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，自觉接种疫苗，构筑防疫屏障，是公民应尽的责任，接种新冠疫苗后可能会有一些不良反应，这与个人的体质有关系．在接种新冠疫苗后的不良反应中，主要有发热、疲乏、头痛，接种部位出现红晕、肿胀、酸痛等表现．为了解某地接种新冠疫苗后有不良反应与性别的关系，某机构随机抽取了该地区200名疫苗接种者进行调查，得到统计数据如下(不完整)：\n(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并判断是否有90%的把握认为有不良反应与性别有关；无不良反应有不良反应总计男性100y120女性x20n总计160m200(2)用频率估计概率，现从该地区的疫苗接种者中随机抽取5人对疫苗接种进行独立评分，其中无不良反应记2分，有不良反应记－1分，记5人所得评分之和为X，求X的分布列和数学期望．\n\n\n\n\n(2021·河南平顶山二模)2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．例4考点四正态分布\n\n\n\n\n【评分细则】①正确求得平均数，给2分；②正确求得分差，给3分③正确写出正态分布，给1分，④正确求得P(x≤10)，给2分；⑤正确求得P(x＞10)，给1分；⑥正确写出Z的概率分布，给1分；⑦求得P(Z≥1)，给1分；⑧求得E(Z)，给1分．\n【名师点评】1．核心素养：正态分布及其应用是高考考查的重要内容，解答题常与统计图表交汇命题，主要考查学生数据分析、数学运算的数学核心素养．2．解题技巧：关键是根据条件确定μ和θ的值，并注意数形结合，确保数据计算准确．\n〔变式训练4〕(2021·江苏南京三模)某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．\n\n参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.\n\n例5考点五*概率、统计与函数、数列、不等式的综合\n(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望；(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0<p<1)且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，试求p0的值．\n\n\n\n〔变式训练5〕(2022·山东模拟)到2020年全面建成小康社会，是我们党向人民、向历史作出的庄严承诺．农村贫困人口脱贫是全面建成小康社会最艰巨的任务．习近平总书记提出的“精准扶贫”理论体系，为欠发达地区推进扶贫攻坚、实现与全国同步全面建成小康社会提供了重要的理论依据．各地区政府采用多种渠道进行扶贫投资开发，其中一项就是引入风险投资基金．甲、乙两家风险投资公司看中一个扶贫项目，要对其进行投资，甲、乙公司经理决定用掷硬币的方式决定投资金额，\n\n\n\n\n
