(三)概率与统计1．某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分．现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：(1)计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s2；(结果精确到小数点后一位)(2)从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率．解 (1)依题意：样本中男生共6人，成绩分别为164,165,172,178,185,186，∴他们的总分为1050，平均分为175.∴s2＝[(－11)2＋(－10)2＋(－3)2＋32＋102＋112]≈76.7.(2)样本中180分以上的考生有男生2人，记为A，B，女生4人，记为a，b，c，d，从中任选2人，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，符合条件的有Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种，故所求概率P＝.6\n2．(2022·葫芦岛模拟)海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量(单位：kg)，其产量都属于区间[25,50]，按如下形式分成5组，第一组：[25,30)，第二组：[30,35)，第三组：[35,40)，第四组：[40,45)，第五组：[45,50]，得到频率分布直方图如图：定义箱产量在[25,30)(单位：kg)的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45,50]的网箱为“高产网箱”．(1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；(2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；(3)若在(2)抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别为m，n，求|m－n|>10的概率．解 (1)样本中的100个网箱的产量的平均数＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.(2)各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，要在此100箱中抽取25箱，则分层抽样各组应抽数3,5,8,7,2.(3)由(2)知，从低产网箱3箱和高产网箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产网箱中3箱编号为1,2,3，高产网箱中2箱编号为4,5，则一共有10种抽法，基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，满足条件|m－n|>10的情况为从高、低产网箱中各取1箱，基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，所以满足事件A：|m－n|>10的概率为P(A)＝＝.3．(2022·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．6\n(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．4．(2022·宁夏银川一中模拟)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下：理科：79,81,81,79,94,92,85,89.文科：94,80,90,81,73,84,90,80.(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数)．解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：6\n(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下：理科同学成绩的平均数1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85，方差是s＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；文科同学成绩的平均数2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.方差是s＝×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75；由于1>2，s<s，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A，B，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科组同学的情况只有1种是abc，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M，则P(M)＝1－＝.5．2022年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕．为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.男女总计喜爱3040不喜爱40总计100(1)将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？(2)在不喜爱足球运动的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率．附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.6\nP(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解 (1)补充列联表如下：男女总计喜爱301040不喜爱204060总计5050100由列联表知K2＝≈16.667>10.828.故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关．(2)由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有6×＝2(人)，女性有6×＝4(人)．记男性观众分别为a1，a2，女性观众分别为b1，b2，b3，b4，随机抽取2人，基本事件有(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共15种．记至少有一位男性观众为事件A，则事件A包含(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共9个基本事件，由古典概型，知P(A)＝＝.6．(2022·全国Ⅲ改编)下图是我国2022年至2022年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2022～2022.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2022年我国生活垃圾无害化处理量．附注：6\n参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得＝4，(ti－)2＝28,＝0.55.(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.10，＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的线性回归方程为＝0.10t＋0.92.将2022年对应的t＝12代入线性回归方程，得＝0.92＋0.10×12＝2.12.所以预测2022年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.12亿吨．6
