§4.5 简单的三角恒等变换最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝(T(α－β))tan(α＋β)＝(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.知识拓展1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( √ )(2)对任意角α都有1＋sinα＝2.( √ )(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.( × )(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( × )题组二 教材改编2．[P127T2]若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )A．－B.C．－D.答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.3．[P131T5]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案 解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.4．[P146T4]tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.答案 解析 ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°tan40°，∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.题组三 易错自纠5．化简：＝.答案 解析 原式＝＝＝＝.6．(2018·昆明模拟)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝.答案 解析 tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.7．(2018·烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝.答案 －解析 方法一 sin＝，得sinθ－cosθ＝，①θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.方法二 ∵θ∈且sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝，∴tanθ＝.故tan2θ＝＝－.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1．(2018·青岛调研)已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )A．－B.C.D．－答案 A解析 ∵α∈，∴tanα＝－，又tanβ＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos等于( )A.B.C.D.答案 A解析 由于角α为锐角，且sin＝，则cos＝，则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，故选A.3．计算的值为．答案 解析 ＝＝＝＝.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二 和差公式的灵活应用命题点1 角的变换典例(1)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.答案 解析 依题意得sinα＝＝，因为sin(α＋β)＝<sinα且α＋β>α，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为．答案 解析 cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.命题点2 三角函数式的变换典例(1)化简：(0<θ<π)；(2)求值：－sin10°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ，故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝－sin10°＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝.引申探究化简：(0<θ<π)．解 ∵0<<，∴＝2sin，又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2＝2sin∴原式＝＝－cosθ.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算：＝.(用数字作答)答案 解析 ＝＝＝＝.(2)(2017·南充模拟)已知α∈，β∈，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝.答案 解析 由已知可得sinα＝，sin(α＋β)＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.用联系的观点进行三角变换典例(1)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为．(3)已知sinα＝，α∈，则＝.思想方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．答案 (1) (2)2 (3)－解析 (1)∵α为锐角且cos＝>0，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.(2)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(3)＝＝cosα－sinα，∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，∴原式＝－.1．(2017·山西五校联考)若cosθ＝，θ为第四象限角，则cos的值为( )A.B.C.D.答案 B解析 由cosθ＝，θ为第四象限角，得sinθ＝－，故cos＝(cosθ－sinθ)＝×＝.故选B.2．(2018·成都模拟)若sinα＝，则sin－cosα等于( )A.B．－C.D．－答案 A解析 sin－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.3．(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tanα＝－，则sin2α等于( )A．－B.C．－D.答案 C解析 因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，故选C.4．(2017·河南洛阳一模)设a＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b答案 D解析 a＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°，∵sin13°>sin12°>sin11°，∴a>c>b.5．已知sinα＝且α为第二象限角，则tan等于( )A．－B．－C．－D．－答案 D解析 由题意得cosα＝－，则sin2α＝－，cos2α＝2cos2α－1＝.∴tan2α＝－，∴tan＝＝＝－.6．已知sin2α＝，则cos2等于( )A.B.C.D.答案 A解析 因为cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝，故选A.7．(2018·新疆乌鲁木齐一诊)的值是( )A.B.C.D.答案 C解析 原式＝＝＝＝.8．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是( )A．α<<βB．β<<αC.<α<βD.<β<α答案 B解析 ∵α为锐角，sinα－cosα＝>0，∴<α<.又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.9．(2017·江苏)若tan＝，则tanα＝.答案 解析 方法一 ∵tan＝＝＝，∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.方法二 tanα＝tan＝＝＝.10．(2018·河南八市质检)化简：·＝.答案 解析 原式＝tan(90°－2α)·＝··＝··＝.11．已知sinα＋cosα＝，则sin2＝.答案 解析 由sinα＋cosα＝，两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝.答案 解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.又β是第三象限角，所以cosβ＝－.所以sin＝－sin＝－sinβcos－cosβsin＝×＋×＝.13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为( )A．－B.C．－D.答案 C解析 由3cos2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，又由α∈可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝，所以1＋2sinα·cosα＝，故sin2α＝－.故选C.14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为．答案 解析 因为coscos＝＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.所以cos2θ＝.故sin4θ＋cos4θ＝2＋2＝＋＝.15．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为．答案 [－1,1]解析 由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，∴即≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin.∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，即取值范围为[－1,1]．16．(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，∴f(x)的最小正周期T＝.令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f＝，∴sin＝1.∵α∈(0，π)，－<α－<，∴α－＝，故α＝.因此tan＝＝＝2－.</sinα且α＋β>
