第三章第六节简单的三角恒等变换题组一三角函数求值1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝( )A.B．－C.D．－解析：∵sinα＝，＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋)＝cosα＝－.答案：D2．(2022·平顶山模拟)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，那么cosA＋cosB＋cosC的最大值为( )A.B.C．1D.解析：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－cos2A＋2cosA＋1.又0＜A＜，0＜cosA＜1.∴cosA＝时，有最大值.答案：D3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，那么cos2A的值为________．解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA＝(cosA－sinA)＝，∴cosA－sinA＝＞0.①∴0＜A＜，∴0＜2A＜5/5\n①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.∴cos2A＝＝.答案：4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(1)求f()的值；(2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，∴f()＝sin＋cos＝1.(2)∵f()＝sinα＋cosα＝.∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±.sinα＝sin(α＋－)＝×－(±)×＝.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝.题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是( )A．(－，)B．(0，)C．(，)D．(，π)解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)．答案：D6．化简等于( )A．1B．－1C．cosαD．－sinα5/5\n解析：原式＝＝＝＝1.答案：A7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是( )A．2B．4C．8D．16解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝，∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.答案：B8．求证：tan2x＋＝.证明：左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．5/5\n∴tan2x＋＝.题组三三角恒等变换的综合应用9.(2022·大连模拟)假设0≤α≤2π，sinα＞cosα，那么α的取值范围是( )A．(，)B．(，π)C．(，)D．(，)解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤.综上，0＜α－＜π，即＜α＜.答案：C10．已知sinαcosβ＝，那么cosαsinβ的取值范围是________．解析：法一：设x＝cosαsinβ，那么sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴∴∴－≤x≤.法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案：[－，]11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如以下图．(1)求函数f(x)的表达式；(2)假设f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．5/5\n解：(1)从图知，函数的最大值为1，那么A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π.而T＝，那么ω＝2.又x＝－时，y＝0，∴sin[2×(－)＋φ]＝0.而－＜φ＜，那么φ＝，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)．(2)由f(α)＋f(α－)＝，得sin(2α＋)＋sin(2α－)＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.5/5
