单元质检卷十 计数原理、概率、随机变量及其分布(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.2021年八省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A为“该同学选择政治和地理”,事件B为“该同学选择化学和地理”,则事件A与事件B( )A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件2.(2021安徽安庆模拟)杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”,现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的概率是( )A.B.C.D.3.某公司研发5G项目时遇到一项技术难题,由甲、乙两个部门分别独立攻关,已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8,乙部门攻克该技术难题的概率为0.7,则该公司攻克这项技术难题的概率为( )A.0.56B.0.86C.0.94D.0.964.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是( )A.B.C.D.5.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为( )A.3B.2.1C.0.3D.0.216.(2021福建福州一模)某次会议中,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为( )A.198B.268C.306D.3787.(2021广东茂名一模)某乒乓球训练馆使用的球是A,B,C三种不同品牌标准比赛球,根据以往使用的记录数据:品牌名称合格率购买球占比A98%0.2\nB99%0.6C97%0.2若这些球在盒子中是均匀混合的,且无区别的标志,现从盒子中随机地取一只球用于训练,则它是合格品的概率为( )A.0.986B.0.984C.0.982D.0.9808.设随机变量X的分布列如下:X0123P0.1a0.30.4则方差D(X)=( )A.0B.1C.2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )A.P(B)=B.P(B|A1)=C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件10.(2021江苏盐城中学模拟)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为B.2个球中恰有1个红球的概率为C.至少有1个红球的概率为\nD.2个球不都是红球的概率为11.(2021山东济南一模)在的展开式中,下列说法正确的是( )A.常数项为160B.第4项的二项式系数最大C.第3项的系数最大D.所有项的系数和为6412.(2021河北唐山一模)下列结论正确的是( )A.若随机变量X服从两点分布,P(X=1)=,则E(X)=B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(2Y+1)=6C.若随机变量ξ服从二项分布B,则P(ξ=3)=D.若随机变量η服从正态分布N(1,σ2),P(η≤2)=0.82,则P(0≤η≤2)=0.64三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021天津滨海新区模拟)有三台车床加工同一型号的零件,第一台加工的次品率为0.06,第二、三台加工的次品率均为0.05,加工出来的零件混放在一起.已知第一、二、三台车床加工的零件数分别占总数的0.25,0.3,0.45,任取一个零件,是次品的概率为 . 14.已知(3x-1)6=a0+a1x+…+a6x6,则a1+a2+…+a6= . 15.杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A,B,C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,那么共有 种不同的选拔志愿者的方法.(用数字作答) 16.(2021浙江富阳中学模拟)已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目,且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率分别为,该考生报考乙大学,每门科目通过的概率均为,设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”,则事件A发生的概率为 ,设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数,则随机变量X的数学期望为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对党史的了解,某班级开展党史知识竞赛活动,现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.\n(1)求a的值并估计这50名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)用分层抽样的方法从成绩在[80,90),[90,100]两组学生中抽取5人进行培训,再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛,求这2人来自不同小组的概率.18.(12分)(2021北京平谷一模)某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一地区进行了质量满意调查,现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本,得到下表:满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080(1)从样本中任取1个人,求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;(2)从该地区的老年人中抽取2人,青年人中随机选取1人,估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率.19.(12分)(2021新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,\n该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.20.(12分)某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的分布列及数学期望;(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.\n21.(12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层随机抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:表一:男生男生等级优秀合格尚待改进频数15x5表二:女生女生等级优秀合格尚待改进频数153y(1)求x,y的值;(2)从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈,记其中抽取的女生人数为X,求随机变量X的分布列及均值;\n(3)由表中统计数据填写下列2×2列联表,依据α=0.1的独立性检验,能否认为测评结果优秀与性别有关联.测评结果男生女生合计优秀非优秀合计45参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.参考数据:α0.100.050.01xα2.7063.8416.63522.(12分)(2021安徽合肥模拟)某调查组从一养鱼示范村的养鱼塘内随机捕捞两次,上午进行第一次捕捞,捕捞到60条鱼,共105kg,称重后计算得出这60条鱼质量(单位:kg)的平方和为200.41,下午进行第二次捕捞,捕捞到40条鱼,共66kg,称重后计算得出这40条鱼质量(单位:kg)的平方和为117.(1)请根据以上信息,求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差s2;(2)根据以往经验,可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布N(μ,δ2),用作为μ的估计值,用s2作为δ2的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼,其质量在[1.21,3.21]的概率是多少?(3)某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼,若从该鱼塘随机捕捞,记ξ为捕捞的鱼的质量在[1.21,3.21]的条数,利用(2)的结果,求ξ的数学期望.附:(1)数据t1,t2,…,tn的方差s2=(ti-)2=-n);(2)若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2),则P(μ-δ≤X≤μ+δ)≈0.6827;P(μ-2δ≤X≤μ+2δ)≈0.954\n5;P(μ-3δ≤X≤μ+3δ)≈0.9973.\n单元质检卷十 计数原理、概率、随机变量及其分布1.A 解析事件A与事件B不能同时发生,是互斥事件.该同学还可以选择化学和政治,故事件A与事件B不是对立事件.故选A.2.C 解析记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A,B,C,则样本点分别为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9种情况,其中一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的共2种情况,所以所求的概率P=.故选C.3.C 解析根据题意得,P=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94.故选C.4.A 解析X的可能取值为2,3,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=3)=,∴E(X)=×2+×3=,故选A.5.B 解析∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,∴P(x>110)=0.2,∴P(90≤x≤110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差为10×0.3×(1-0.3)=2.1.故选B.6.A 解析分两种情况.若选两个国内媒体一个国外媒体,有=90种不同提问方式;若选两个外国媒体一个国内媒体,有=108种不同提问方式,根据分类加法计数原理,共有90+108=198种提问方式.故选A.7.B 解析将A,B,C分别记为第1,第2,第3个品牌,设事件M1表示“取到的球是第i个品牌(i=1,2,3)”,事件N表示“取到的是一个合格品”,其中M1,M2,M3两两互斥,所以P(N)=P(M1N)+P(M2N)+P(M3N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984,所以它是合格品的概率为0.984.故选B.8.B 解析由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1.故选B.9.BD 解析易见A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确,P(B|A1)=,故B正确,P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=,故A不正确,事件B与事件A1不相互独立,故C不正确,故选BD.\n10.ABC 解析对于A,2个球都是红球的概率为,故选项A正确;对于B,2个球中恰有1个红球的概率为,故选项B正确;对于C,至少有一个红球包括两个都是红球和恰有1个红球,结合选项A,B可知,至少有一个红球的概率为,故选项C正确;对于D,2个球不都是红球的对立事件为2个球都是红球,所以2个球不都是红球的概率为1-,故选项D不正确.故选ABC.11.BC 解析展开式的通项为Tr+1=(-x)r=26-r(-1)rx2r-6.由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23×(-1)3×=-160,故A错误;展开式共有7项,所以第4项二项式系数最大,故B正确;由通项公式可得r为偶数时,系数才有可能取到最大值,当r=2时,该项系数最大为240,故C正确;令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=(2-1)6=1,所有项的系数和为1,故D错误.故选BC.12.AD 解析由条件可知,P(X=0)=1-P(X=1)=,E(X)=0×+1×,故A正确;D(2Y+1)=4D(Y)=12,故B错误;若随机变量ξ服从二项分布B,则P(ξ=3)=,故C错误;根据对称性可知,正态分布曲线关于x=1对称,所以P(0≤η≤2)=1-2(1-P(η≤2))=0.64,故D正确.故选AD.13.0.0525 解析依题意,任取一个零件,它是次品的概率为0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.14.63 解析令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a6=(3×1-1)6=64,所以a1+a2+…+a6=64-1=63.15.52 解析根据题意,分4种情况讨论.①甲乙都不参加志愿活动,在剩下的4人中任选3人参加即可,有=24种选拔方法;\n②甲参加但乙不参加志愿活动,甲只能参加C项目,在剩下的4人中任选2人参加A,B项目,有=12种选拔方法;③乙参加但甲不参加志愿活动,乙只能参加A项目,在剩下的4人中任选2人参加B,C项目,有=12种选拔方法;④甲乙都参加志愿活动,在剩下的4人中任选1人参加B项目,有=4种选拔方法.根据分类加法计数原理,则不同的选拔志愿者的方法种数为24+12+12+4=52.16. 解析(1)由题知,事件A为该考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目或通过三门科目,所以P(A)=.(2)由题意可得,X的值可能为0,1,2,3.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=.即随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×.17.解(1)根据频率分布直方图得(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020.平均成绩为(45×0.004+55×0.006+65×0.020+75×0.030+85×0.024+95×0.016)×10=76.2.(2)来自[80,90)小组的有3人,记为a1,a2,a3,来自[90,100]小组的有2人,记为b1,b2,从5人中随机抽取2人,样本点为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10个,这2人来自不同组的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个,所以这2人来自不同小组的概率为P=.\n18.解(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意为事件A,总人次为500人,对酸奶质量满意的人数为100+120+150=370,所以P(A)=.(2)由频率估计概率,设“抽取的老年人中对鲜奶质量满意”为事件B,则抽取的老年人中对鲜奶质量满意的概率为P(B)=,设“抽取的青年人中对鲜奶质量满意”为事件C,则抽取青年人中对鲜奶质量满意的概率为P(C)=.故抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率P=,所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为.19.解(1)X=0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2=,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=,P(X=100)=0.8×0.6=.所以X的分布列为X020100P(2)若小明先回答A类问题,期望为E(X).则E(X)=0×+20×+100×.若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=,\nP(Y=80)=0.6×(1-0.8)=,P(Y=100)=0.6×0.8=.E(Y)=0×+80×+100×.因为E(X)<E(Y),所以小明应选择先回答B类问题.20.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100,200,300.P(X=300)=,P(X=200)=,P(X=100)=,或P(X=100)=1-P(X=200)-P(X=300)=所以奖金数X的概率分布列为X100200300P奖金数X的数学期望E(X)=100×+200×+300×=140.(2)设3个人中获二等奖的人数为Y,则Y~B3,,所以P(Y=k)=k3-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A,则P(A)=P(Y=2)+P(Y=3)=×2×+×3=.则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.\n21.解(1)设从高一年级男生中抽取m人,则,解得m=25,则从女生中抽取20人,所以x=25-15-5=5,y=20-15-3=2.(2)表一、表二中所有尚待改进的学生共7人,其中女生有2人,则X的所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.则随机变量X的分布列为X012P所以X的均值E(X)=×0+×1+×2=.(3)2×2列联表如下:测评结果男生女生合计优秀151530非优秀10515合计252045零假设为H0:测评结果优秀与性别无关联.χ2==1.125<2.706=x0.1.依据α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可认为H0成立,即认为测评结果优秀与性别无关联.22.解(1)=1.71,s2=-1.712=0.25.(2)该鱼塘鱼质量满足X~N(μ,δ2),其中μ=1.71,δ2=0.25,即X~N(1.71,0.25),则P(μ-δ≤X≤0)≈,P(0≤X≤μ+3δ)≈,∴P(1.21≤X≤3.21)=P(μ-δ≤X≤μ+3δ)=P(μ-δ≤X≤0)+P(0<X≤μ+3δ)≈=0.84.\n(3)由(2)可得鱼的质量在[1.21,3.21]的概率为0.84.由题意可知ξ~B(1000,0.84),由二项分布的数学期望公式可得,ξ的数学期望为E(ξ)=1000×0.84=840.
