【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布单元质量检测理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．组合式C－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC的值等于( )A．(－1)nB．1C．3nD．3n－1解析：在(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn中，令x＝－2，得原式＝(1－2)n＝(－1)n.答案：A2．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85B．56C．49D．28解析：因为丙没有入选，所以只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，因为甲、乙至少有1人入选，所以由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C·C＝42，另一类是甲乙都入选的选法有C·C＝7，根据分类计数原理知共有42＋7＝49种选法，故选C.答案：C3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C4．若(x－1)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6＝( )A．112B．28C．－28D．－112解析：(x－1)8＝[(x＋1)－2]8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，∴a6＝C(－2)2＝4C＝112.答案：A7\n5．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X<0)＝( )A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84解析：∵P(X≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(X<0)＝P(X>4)＝1－0.84＝0.16.答案：A6．甲、乙两人分别各自在300m的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50m的概率是( )A.B.C.D.解析：设甲、乙两人各自跑的路程为xm，ym，则表示的区域如图所示，面积为90000m2，相距不超过50m，满足|x－y|≤50，表示的区域如图阴影所示，其面积为90000－62500＝27500(m2)，故所求概率P＝＝.答案：C7．盒子中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，共取2次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是( )A.B.C.D.解析：设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝7\n＝，P(A)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.答案：D8．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为( )A.B.C.D.解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，∴D(X)＝4××＝.答案：B9．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648解析：由题意知，甲获胜有两种情况，一是甲以20获胜，此时P1＝0.62＝0.36；二是甲以21获胜，此时P2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.答案：D10．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则期望利润是( )A．706元B．690元C．754元D．720元解析：依题意，若进这种鲜花500束，利润应为Y＝(5－2.5)X－(2.5－1.5)×(500－X7\n)＝3.5X－500.则E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．所以E(Y)＝E(3.5X－500)＝3.5E(X)－500＝3.5×340－500＝690元．答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)11．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，至少有一人击中目标的概率为________．解：甲、乙射击击中目标分别为事件A，B，则“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.64＋0.32＝0.96.答案：0.9612．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商店在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．解析：甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空档中有A种方法．∴由分步计数原理，共有AAA＝24种排法．答案：2413．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝，而P(A)＝＝，AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P(AB)＝＝，于是P(B|A)＝＝.答案：14．某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值E(ξ)＝________.解析：ξ的分布列为ξ1234PE(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.7\n答案：三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)某市准备从7名报名者(其中男4人，女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选．(1)设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列；(2)若选派三个副局长依次到A，B，C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率．解：(1)依题意，X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列为X0123P(2)记D＝“A局是男副局长”，E＝“B局是女副局长”，则P(E|D)＝＝.16．(10分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽出两张卡片，标号分别记为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：(1)因为x，y可能的取值为1,2,3，所以|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此随机变量ξ的最大值为3.因为有放回地抽出两张卡片的所有情况共有3×3＝9种，所以P(ξ＝3)＝.因此，随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为.(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.因为当ξ＝0时，只有x＝2，y＝2一种情况；当ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四各种情况；当ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝P(ξ＝3)＝，∴ξ的分布列为：7\nξ0123P数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.17．(12分)(2014·大纲全国卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4个需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2··C.P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2··C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2··C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(·A0·)＝P()P(A0)P()＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·＋·A0·C＋·A1·)＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P()＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.18．(12分)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N7\n(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×＋166×＋170×＋174×＋178×＋182×)×4＝168.72，高于全市的平均值168.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10.(3)∵P(168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.9974，∴P(ξ≥180)＝＝0.0013,0.0013×100000＝130.∴全市前130名的身高在180cm以上，这50人中180cm以上的有2人．随机变量ξ可取0,1,2，于是P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.7
