课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2021浙江余姚中学月考)直线mx-y+1=0与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与m的值有关2.(2021湖南长沙一中月考)已知圆x2+y2=25,则过圆上一点A(3,4)的切线方程为( )A.3x+4y-25=0B.4x+3y-24=0C.3x-4y+7=0D.4x-3y=03.(2021河南安阳一中月考)若直线l:mx+ny+3=0始终平分圆C:x2-2x+y2+3y-1=0,则2m-3n=( )A.-6B.-3C.3D.64.(2021安徽合肥一中模拟)“k∈[-2,]”是“直线l:y=kx与圆C:(x-2)2+y2=3相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0,则( )A.两圆相切B.公共弦长为4C.两圆相离D.公共弦长为26.直线l过点P(1,2)且与直线x+ay-3=0平行.若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则实数a的值是( )A.-B.C.D.-或07.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的公切线有 条. 8.(2021河北秦皇岛二模)已知直线x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4相交于A,B两点,则△ABC的面积为 . 9.(2021湖北荆州模拟)已知圆C过点A(4,-1),且与直线x-y+1=0相切于点B(-2,-1).(1)求圆C的方程;(2)设直线y=x与圆C相交于M,N两点,求弦长|MN|.综合提升组10.已知直线l:kx+y=0与圆M:x2+y2-2x-2y+1=0,则下列说法中错误的是( )\nA.直线l与圆M一定相交B.若k=0,则直线l与圆M相切C.当k=-1时,直线l被圆M截得的弦最长D.圆心M到直线l的距离的最大值为11.已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则下列说法中错误的是( )A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+12.(2021山东烟台二中三模)已知直线ax+y-2=0与圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0相交于A,B两点,且△ABC为钝角三角形,则实数a的取值范围为 . 13.若一个圆的圆心是抛物线x2=8y的焦点,且该圆与直线x-y-2=0相切,则该圆的标准方程为 .过点P(-2,-2)作该圆的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 . 创新应用组14.(2021北京高三一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为( )A.2B.3C.4D.615.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一;平面上一点P到两定点A,B的距离满足=t(t>0且t≠1)为常数,则点P的轨迹为圆.已知圆O:x2+y2=1和点A,若定点B(b,0)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ= ,△MAB面积的最大值为 . \n课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A 解析:因为直线mx-y+1=0过定点(0,1),且(0-2)2+(1-1)2=4<5,所以点(0,1)在圆内,所以直线和圆相交.故选A.2.A 解析:因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),所以直线AO的斜率kOA=,所以切线的斜率k=-=-,所以切线方程为y-4=-(x-3),化简得3x+4y-25=0.故选A.3.A 解析:由圆C:x2-2x+y2+3y-1=0得圆心C.因为直线平分圆,所以直线必过圆心,则m-n+3=0,则2m-3n=-6.故选A.4.B 解析:由直线与圆相交,得圆心到直线的距离为d=,解得k∈(-).因为(-)⫋[-2,],所以[-2,]是直线l与圆C相交的必要不充分条件.故选B.5.B 解析:圆C1的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5),半径为r1=5.圆C2的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=50,圆心为(3,-1),半径为r2=5.∵圆心距d==2,∴|r1-r2|<d<r1+r2,∴两圆相交,故选项A,C错误;设两圆公共弦长为L,则有=r2(r=r1=r2),∴L=4,故选项B正确,选项D错误.故选B.\n6.D 解析:设直线l的方程为x+ay+c=0(c≠-3).因为直线l过点P(1,2),所以c=-1-2a,所以直线l的方程为x+ay-2a-1=0.圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2.因为直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2,所以弦心距为1,所以圆心到直线的距离d==1,解得a=0或a=-.故选D.7.3 解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0整理可得(x-2)2+(y+1)2=4,可得圆心C1的坐标为(2,-1),半径r1=2.(x+2)2+(y-2)2=9的圆心C2的坐标为(-2,2),半径r2=3,所以圆心距|C1C2|==5=r1+r2,所以两个圆外切,所以公切线有3条.8.2 解析:因为圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2,所以圆心C到直线x+y-5=0的距离d=,所以直线x+y-5=0被圆C:(x-2)2+(y-1)2=4截得的弦长|AB|=2=2,所以△ABC面积S=×2=2.9.解(1)过切点B(-2,-1)且与直线x-y+1=0垂直的直线为y+1=-(x+2),即x+y+3=0,则其过圆心.∵直线AB方程为y=-1,∴AB的中垂线x=1过圆心.联立解得∴圆心为(1,-4),∴半径r==3,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=18.(2)∵直线l的方程为x-y=0,∴圆心C(1,-4)到直线l的距离d=,∴|MN|=2.\n10.A 解析:M:x2+y2-2x-2y+1=0,即(x-1)2+(y-1)2=1,是以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆.对于A,因为直线l:kx+y=0过原点,且02+02-2×(-2)×0+1>0,所以原点在圆外,所以直线l与圆M不一定相交,故A错误;对于B,若k=0,则直线l:y=0,直线l与圆M相切,故B正确;对于C,当k=-1时,直线l的方程为y=x,过圆M的圆心,故C正确;对于D,由点到直线的距离公式,得d=(当且仅当k=1时,等号成立),故D正确.故选A.11.C 解析:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程相减可得-2x+2y-2=0,即得直线AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+,故D正确.故选C.12.(2-,1)∪(1,2+) 解析:圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0可化为(x-1)2+(y-a)2=4,故圆心为C(1,a),半径为2.当△ABC为等腰直角三角形时,点C到直线的距离d=,解得a=2±.∵△ABC为钝角三角形,∴0<d<.又当a=1时,d=0,∴a的取值范围为(2-,1)∪(1,2+).13.x2+(y-2)2=4 x+2y-2=0 解析:由题意,圆心坐标为F(0,2).因为该圆与直线x-y-2=0相切,所以d==2=r,所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=4.因为∠FAP=∠FBP=,所以点F,A,B,P四点共圆,且FP为该圆的直径,所以圆的方程为(x+1)2+y2=5.又因为x2+(y-2)2=4,联立求解得x+2y-2=0,所以直线AB的方程为x+2y-2=0.\n14.A 解析:因为在△ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线AD.因为B(-1,3),C(4,-2),所以D.因为直线BC的斜率为=-1,所以边BC的垂直平分线的斜率为1,所以边BC的垂直平分线方程为y-=x-,即x-y-1=0.因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圆心M(a,a-3)到“欧拉线”的距离为=r,解得r=.因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为=3,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3=2.故选A.15.2 解析:设点M(x,y).由|MB|=λ|MA|(λ≥0),得(x-b)2+y2=λ2x+2+y2,整理得(-λ2)x2+(1-λ2)y2-(2b+λ2)x+b2-λ2=0.因为b=-,所以|MB|≠|MA|,所以λ≠1,所以1-λ2≠0,所以x2+y2-x+=0,所以解得(舍去)或如图所示,S△MAB=|AB||yM|.由图可知,当|yM|=1,即M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值--(-2)=.
