课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.与圆(x-1)2+y2=4圆心相同且过点P(-2,4)的圆的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=252.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是( )A.(-2,+∞)B.C.D.(-2,2)3.(2021安徽合肥第六中学模拟)点M(0,1)与圆x2+y2-2x=0上的动点P之间的最近距离为( )A.B.2C.+1D.-14.(2021北京高三二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是( )A.3B.2C.-1D.-35.已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中错误的是( )A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M截x轴所得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M截y轴所得的弦长为66.已知圆C关于y轴对称,过点(1,0),且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为( )①x2+ ②x2+③(x-)2+y2= ④(x+)2+y2=A.①②B.②③C.③④D.①④7.(2021江苏扬州中学模拟)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 . 8.过圆x2+y2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 . 9.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P截x轴所得的线段长为2,截y轴所得的线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.\n综合提升组10.(2021重庆巴蜀中学高三月考)圆C为过点P(4,3),Q(2,5)的圆中最小的圆,则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为( )A.[2,5]B.[3,6]C.[5-2,5+2]D.[5-,5+]11.实数x,y满足x2+y2+2x=0,则下列关于的判断正确的是( )A.的最大值为B.的最小值为-C.的最大值为D.的最小值为012.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是 . 13.在△ABC中,AB=4,AC=2,A=,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则的最小值为 . 14.已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),B(1,0),且点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:kAPkBP是定值;(2)过点P作x轴的垂线,垂足为点Q,点M满足2=-,求点M的轨迹方程;(3)在(2)的条件下证明:kAMkBM是定值.\n创新应用组15.(2021江苏南京雨花台中学月考)现有△ABC,AC=6,sinC=2sinA,则当△ABC的面积最大时,BC的长为 . \n课时规范练40 圆的方程1.D 解析:由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0).设所求圆的方程为(x-1)2+y2=r2,代入(-2,4)得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D.2.C 解析:由题意得解得-2<k<.故选C.3.D 解析:将圆x2+y2-2x=0化为标准方程得(x-1)2+y2=1,所以圆心为(1,0),半径为1,所以点M到圆心的距离为,所以点M与圆上的动点P之间的最近距离为-1.故选D.4.C 解析:方程可化为(x+2)2+(y-3)2=1,所以(x,y)在圆心(-2,3),半径r=1的圆上,所以x的最大值是-2+1=-1.故选C.5.C 解析:由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,所以圆M的圆心坐标为(4,-3),半径为5,圆M截x轴所得的弦长为8,圆M截y轴所得的弦长为6.故选C.6.A 解析:由已知得圆C的圆心在y轴上,且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为.设圆心的坐标为(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=±.故圆C的方程为x2+或x2+.故选A.7.(-1,-4) 解析:因为方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,所以a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程x2+y2+2x+8y-5=0,即(x+1)2+(y+4)2=22,所求圆的圆心坐标为(-1,-4);当a=2时,方程4x2+4y2+2x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,此时\n+22-4×=-<0,方程不表示圆.综上所述,圆心坐标是(-1,-4).8.x-2y-2=0 解析:由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4,所以圆心为(2,0).由2x+y=0得直线2x+y=0的斜率为-2,所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为,所以所求直线的方程为y-0=(x-2),即x-2y-2=0.9.解(1)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2,∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1,∴圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P点的坐标为(x0,y0),则,即|x0-y0|=1,∴y0-x0=±1,即y0=x0±1.①当y0=x0+1时,由=1,得(x0+1)2-=1,∴∴r2=3,∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.②当y0=x0-1时,由=1,得(x0-1)2-=1,∴∴r2=3,∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.综上所述,圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.10.D 解析:过点P,Q,以线段PQ为直径的圆最小,则圆心为C(3,4),半径为.∵圆心到原点的距离为5,∴点M到原点O距离的取值范围为[5-,5+].故选D.11.C 解析:由题意可得方程x2+y2+2x=0表示圆心为点C(-1,0),半径为1的圆,则为圆上的点到定点P(1,0)的斜率.\n设过P(1,0)的直线为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则圆心到直线kx-y+k=0的距离d=r,即=1,整理可得3k2=1,解得k=±,所以,即的最大值为,最小值为-.故选C.12.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点) 解析:设C(x,y).由题意知,|AB|=.因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=,即点C的轨迹是以点A为圆心,为半径的圆.又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线,所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).13.5-2 解析:如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(1,).设P(x,y),则=(4-x,-y),=(1-x,-y),所以=(4-x)(1-x)-y(-y)=x2-5x+y2-y+4=-3.因为表示圆A上的点P与点M之间的距离|PM|的平方,由图得|PM|min=|AM|-1=-1=-1,所以的最小值为(-1)2-3=5-2.\n14.(1)证明由题意可知直线AP,BP的斜率均存在.因为线段AB是圆O的直径,所以AP⊥BP,所以kAPkBP=-1,即kAPkBP是定值.(2)解设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),所以=(0,-n),=(x-m,y-n).因为2=-,所以所以①因为点P在圆O上,所以m2+n2=1.②将①代入②,得x2+=1.又点P异于A,B两点,所以m≠±1,即点M的轨迹方程为x2+=1(x≠±1).(3)证明由题可知直线AM,BM的斜率均存在.由M(x,y),得kAM=,kBM=.由(2)可知x2-1=-,所以kAMkBM==-9,即kAMkBM是定值.15.2 解析:如图所示,以线段AC的中点为原点,AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.因为AC=6,所以A(-3,0),C(3,0).设B(x,y).因为sinC=2sinA,由正弦定理可得c=2a,即|AB|=2|BC|,所以(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,化简得(x-5)2+y2=16,且x≠1或9,所以圆的位置如图所示,圆心为(5,0),半径r=4.观察可得,三角形底边长AC不变的情况下,当B点位于圆心D\n的正上方或正下方时,高最大,此时△ABC的面积最大,B点坐标为(5,4)或(5,-4),所以BC==2.
