高考解答题专项二 三角函数中的综合问题1.已知函数f(x)=2sinωxcosωx--(0<ω<2),函数f(x)在[a,b]上单调递增,且b-a的最大值为,求f(x)在-上的单调递减区间.2.(2021湖南怀化高三二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足.(1)求角A;(2)若a=,b=3,求△ABC的面积.\n3.(2021天津静海一中高三月考)已知锐角三角形ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,且bcosC+bsinC=a+c.(1)求B;(2)若b=2,△ABC的面积为,求a,c.4.平面凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AD=3,AB=4.(1)若∠ABC=45°,求CD;(2)若BC=2,求AC.\n5.(2021江苏徐州高三二模)若f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,f(0)=,f=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角三角形ABC中,若A>B,f=,求cos,并证明sinA>.6.(2021河南郑州高三三模)在△ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分∠BAC.(1)若sin∠ABC=,求cos∠BAC;(2)若AD=AC,且△ABC的面积为,求BC.\n高考解答题专项二 三角函数中的综合问题1.解f(x)=2sinωxcosωx--=2sinωxcosωxcos+sinωxsin-=cosωxsinωx+sin2ωx-sin2ωx-cos2ωx=sin2ωx-.若f(x)在[a,b]上单调递增,且b-a的最大值为,则T=π=,故ω=1,所以f(x)=sin2x-.由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),令k=0,得≤x≤;令k=-1,得-≤k≤-.又-≤x≤,所以f(x)在-上单调递减区间为-,-,.2.解(1)由及正弦定理可知,,所以,因此2cosA=1.又A∈(0,π),所以A=.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得13=9+c2-3c,所以c2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4.从而S△ABC=bcsinA=×3×4×=3.3.解(1)由正弦定理得sinBcosC+sinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC.因为C为三角形内角,sinC≠0,所以sinB-cosB=1,sinB-=.\n因为-<B-,则B-,即B=.(2)由已知S=acsinB=ac=,得ac=4.又a2+c2-b2=2accosB,即a2+c2-4=ac,解得a=c=2.4.解(1)连接BD,在Rt△BAD中,由AB=4,AD=3,∠BAD=90°,得BD=5,∴sin∠ABD=,cos∠ABD=.∵∠ABC=45°,∴∠DBC=45°-∠ABD,∴sin∠DBC=sin45°·cos∠ABD-cos45°·sin∠ABD=.在Rt△BCD中,由∠BCD=90°,知CD=BD·sin∠DBC=5×.(2)连接AC,由(1)知BD=5,在Rt△ABD中易知sin∠ABD=,cos∠ABD=.在Rt△BCD中,由BC=2,BD=5,得CD=.易知sin∠CBD=,cos∠CBD=.∴cos∠ABC=cos(∠ABD+∠CBD)=cos∠ABD·cos∠CBD-sin∠ABD·sin∠CBD=.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=42+-2×4×2=20,\n∴AC=2.5.解(1)由f(0)=,得sinφ=.又0<φ<,故φ=.由f=0,得sinω·=0,所以ω·=2kπ+π(k∈Z),即ω=2+(k∈Z).由ω>0,结合函数图象可知,所以0<ω<.又k∈Z,所以k=0,从而ω=2,因此f(x)=sin2x+.(2)由f=sin(A-B)=,因为0<B<A<,所以0<A-B<,故cos(A-B)=.因为cos(A-B)=2cos2-1,于是cos.所以sin.又A+B>,故A=.又y=sinx在0,上单调递增,且A∈0,,∈0,,所以sinA>sin=sincos+cossin×=.\n6.解(1)令△ABC的边AC,AB,BC为b,c,a,由题意可得c=2b,∵AB>AC,∴∠ABC<∠ACB,∴∠ABC为锐角,即cos∠ABC=.∵,∴sin∠ACB=.∵∠ACB∈(0,π),∴cos∠ACB=±.∴cos∠BAC=-cos(∠ABC+∠ACB)=sin∠ABCsin∠ACB-cos∠ABCcos∠ACB.当cos∠ACB=时,cos∠BAC==0.当cos∠ACB=-时,cos∠BAC=.所以cos∠BAC=0或.(2)设∠CAD=∠DAB=θ,由于S△ABC=S△ACD+S△ADB,所以AC·ADsinθ+AB·ADsinθ=AB·ACsin2θ,由AD=AC,AB=2AC可得3sinθ=4sinθcosθ.因为sinθ≠0,则cosθ=,sinθ=,S△ABC=AC·ABsin2θ=b2sin2θ=2b2sinθcosθ=,解得b2=.又cos2θ=2cos2θ-1=,∴a==2,即BC=2.
