高考解答题专项三 数列中的综合问题1.已知数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{an}为递增数列,S3=7,且3a2是a1+3和a3+4的等差中项,bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,是否存在实数k,使得Tn<k恒成立?若实数k存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.2.(2021全国乙,文19)设数列{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn<.\n3.(2021广东揭阳高三适应性考试)在数列{an}中,a1=0,a2=1,且an+2=an+1+2an,记bn=an+1+an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若cn=|Sn-15|,求数列{cn}的前n项和Tn.4.(2021湖南衡阳高三模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,2=an+1.(1)求an;(2)将数列{an}分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10),…,记第n组的和为bn.①求数列{bn}的通项公式;②求数列(-1)n前2n项的和.\n5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,S7=14.在数列{bn}中,b1b2b3…bn=.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足cn=bncos(anπ),求数列{cn}的前2n项和T2n.6.(2021山东淄博高三一模)将n2(n∈N*)个正数排成n行n列:a11 a12 a13 a14 … a1na21 a22 a23 a24 … a2na31 a32 a33 a34 … a3na41 a42 a43 a44 … a4n… … … … … …an1 an2 an3 an4 … ann其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且各列的公比都相等,若a11=1,a13a23a33=1,a32+a33+a34=.(1)求a1n;(2)设Sn=a11+a22+a33+…+ann,求Sn.\n高考解答题专项三 数列中的综合问题1.解设数列{an}的公比为q.由题可得解得a2=2,所以+2+2q=7,故q=2或.又a2>0,数列{an}为递增数列,所以q=2,所以an=2n-1,Sn=2n-1,所以bn=,所以Tn=1-+…+=1-<1.当k≥1时,使得Tn<k恒成立,故k的最小值为1.2.(1)解设{an}的公比为q,则an=qn-1.因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=2×3q,解得q=,故an=.由bn=,得bn==n·.(2)证明由(1)可知Sn=1-.又bn=,则Tn=+…+,①两边同乘,得Tn=+…+,②①-②,得Tn=+…+,\n即Tn=,整理得Tn=,则2Tn-Sn=2=-<0.故Tn<.3.(1)证明由an+2=an+1+2an,得bn+1=an+2+an+1=2(an+1+an)=2bn.又b1=a1+a2=1>0,所以数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)解由(1)知,bn=2n-1,Sn==2n-1,则cn=|2n-16|,故cn=则当1≤n≤4时,Tn=(16-21)+(16-22)+…+(16-2n)=16n-(21+22+…+2n)=16n-=16n-2n+1+2.当n>4时,Tn=(16-21)+(16-22)+…+(16-24)+(25-16)+(26-16)+…+(2n-16)=2T4+(21+22+…+2n)-16n=2×34+-16n=2n+1-16n+66,则Tn=4.解(1)因为2=an+1,所以a1=1.因为2=an+1,所以Sn=.①当n≥2时,Sn-1=,②①-②得,2an+2an-1=,所以an-an-1=2,\n所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.(2)①由题意可知,b1=a1=S1,b2=a2+a3=S3-S1,b3=a4+a5+a6=S6-S3,b4=a7+a8+a9+a10=S10-S6,…,所以bn=,而Sn==n2,所以bn==2--n2=n3.②由①可得(-1)n=(-1)nn2,所以T2n=(-1+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(2n-1)2+(2n)2]=3+7+…+(4n-1)==n(2n+1).5.解(1)设{an}的公差为d,由a2=1,S7=14得解得∴an=.∵b1b2b3…bn=,∴b1b2b3…bn-1=(n≥2),两式相除得bn=2n(n≥2).当n=1时,b1=2符合上式,∴bn=2n(n∈N*).(2)∵cn=bncos(anπ)=2ncos,∴T2n=2cos+22cosπ+23cos+24cos(2π)+…+22n-1cos+22ncos(nπ)=22cosπ+24cos(2π)+…+22ncos(nπ)=-22+24-…+(-1)n·22n==-.6.解(1)设第一行数的公差为d,各列的公比为q.由题意可知a13a23a33==1,解得a23=1.\n由a32+a33+a34=3a33=,解得a33=,则q=.由a23=a13q=(a11+2d)q=(1+2d)·=1,解得d=,因此a1n=a11+(n-1)d=1+.(2)由ann=a1nqn-1=·n-1=,可得Sn=+…+,两边同时乘以可得,Sn=+…+,上述两式相减可得,Sn=1++…+-=1+,因此Sn=3-.
