2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第五章一元函数的导数及其应用B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（）A．-8B．-3C．4D．62．若函数存在零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．3．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．5．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．\n8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（）A．在区间内单调递减B．在区间内单调递增C．是极小值点D．是极大值点10．若直线与曲线满足下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过”曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立\n12．若函数的值域为，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____14．已知函数，，若，则的最小值为______.15．定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______．16．关于函数有如下四个命题：①的图象关于原点对称；②在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中所有真命题的序号是__．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.\n18．设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．19．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．\n20．已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间和极值；（3）当时，讨论函数的零点个数.21．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）若，且的极大值大于0，求实数的取值范围．\n22．已知函数和函数.（1）求函数的极小值；（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由；（3）是否存在正实数使函数的极值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（）A．-8B．-3C．4D．6【答案】A【解析】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2，设直线与相切于，因为，所以，解得，故直线与相切于，设直线与相切于，\n因为，则，解得，则，所以直线的方程为，即，在直线上，则，解得.故选：A.2．若函数存在零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数存在零点，即有根.因为，所以有根.设，则，即令，则，当时，，所以在上单增；当时，，所以在上单减；所以当时，y有最小值1.要使有解，只需.故选：B.3．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数，可得，所以函数为偶函数，当时，可得，\n令，可得，所以函数为单调递增函数，所以，可得，所以在上单调递增，则不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，则对任意恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：D．4．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以，因为，，，所以，，，所以，即，因为，可得，又因为，则，同理，，所以，，\n因为当时，，函数单调递减，所以．故选：C．5．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，当时，上式可变形为：，问题转化为：当时，恒成立，设，，，因为，，所以，因此，所以当时，单调递减，当时，单调增，故，要想当时，恒成立，只需，设，，，当时，，所以函数单调递增，而，显然当，成立，故选：B6．定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）\nA．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，方程有且只有两个正根，即有且只有两个正根，方程可以化为：，因此转化为函数与在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数的图象，因为，当时，；当时，且当x=1时，y=0，y'=1，在x=1处切线的斜率是1，简图如图所示：直线过点(1，0)斜率为m，由图像有两个交点，可以得到m>0且.故选：D7．已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，在为减函数，而，而在上，，，所以；在上，，，所以；\n由在成立，可知，∴在上，，又函数为偶函数，∴在上，不等式等价于，∴.故选：A.8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：∵函数在上单调递增，∴当时，有；当时，恒成立，令，，则，∵，∴，即在上单调递增，∴，要使当时恒成立，则，解得.∵函数在上单调递增，∴还需要满足，即，综上，的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（）\nA．在区间内单调递减B．在区间内单调递增C．是极小值点D．是极大值点【答案】BD【解析】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，．函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，．时，，当时，，为增函数，，此时此时函数为减函数，则函数内有极大值，是极大值点；故正确，故选：．10．若直线与曲线满足下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过”曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】A项,因为,当时,,所以是曲线在点处的切线.\n当时,；当时,,所以曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；B项,,当时,,在处的切线为.令,则,当时,；当时,,所以.故,即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C项,,当时,,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；D项,,当时,,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD.11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立【答案】AD【解析】设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故A正确．当时，，所以，令，解得，\n当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，，又，故函数在仅有一个零点．当时，，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点．故B错误．作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故C错误．由图可知，对，故D正确．故选：AD．12．若函数的值域为，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】时，，，单调递增，∴，A正确；时，，，单调递减，\n∴，∵值域是，∴，B正确；设，则，当时，．单调递增，∴，即，又，而在递减，∴，C错；设，则，令，则在时恒成立，在上单调递增，因此时，，，∴是减函数，又，∴，即，，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____【答案】【解析】由题意，函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，即在区间(－2，1)上恰有一个变号零点令，即在区间(－2，1)上有唯一的变号零点根据二次函数根的分布可知：，即此时端点值是否成立不确定.（1）当时，在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，成立；（2）当时，在区间(－2，1)上恒小于0，不成立；综上，实数a的取值范围为\n故答案为：14．已知函数，，若，则的最小值为______.【答案】【解析】设，即，，解得，，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.15．定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为，所以，令，则，所以为奇函数．又因为当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减．而不等式\n，所以，所以．故答案为：16．关于函数有如下四个命题：①的图象关于原点对称；②在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中所有真命题的序号是__．【答案】①②④【解析】解：对于①，的定义域为，，故是奇函数，的图象关于原点对称，故①正确；对于②，，故当时，，在，上单调递增，故②正确；对于③，令可得，故在和，上单调递增，在，上单调递减，令可得或，作出的函数图象，由图象可知只有5个极值点，故③错误；\n对于④，是奇函数，故是偶函数，的极大值为，有6个根，故④正确．故答案为：①②④.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】小问1：由可得的值，进而可得表达式，然后进行检验符合条件即可；小问2：根据题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数解析的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.（1）因为，所以，由在处取极值，得，求得，当时，；当时，；则在时有极大值，符合题意，\n所以；（2）当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以，由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有，综上所述，当，时，成立．18．设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.【解析】（1）由条件得，∵在点处的切线与垂直，∴此切线的斜率为0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上单调递减，在上单调递增，\n当时，取得极小值．故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设． 则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，∴（对仅在时成立），故的取值范围是19．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析，的取值范围为．【解析】（1）根据题意，函数的定义域为，则有，当时，对于任意，恒成立，令；令；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若函数在内有极值，则在内有解；令，解之可得，，令，则有，当时，恒成立，即得在上单调递减，又因为，所以在的值域为，所以当时，有解，\n设，则，；所以函数在上单调递减，因为，（1），所以在区间上有唯一解，即得当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，即得当时，在内有极值且唯一；当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意．故的取值范围为．20．已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间和极值；（3）当时，讨论函数的零点个数.【答案】（1）（2）在，上单调递增；在上单调递减，；（3）答案见解析【解析】（1）由，求导，进而得到，，写出切线方程；（2）求导，根据函数在处取得极值，求得，再利用导数法求解；（3）令，将问题转化为，利用数形结合法求解.（1）解：当时，，\n，，，故所求切线方程为，即；（2）（2）因为，所以，因为函数在处取得极值，所以，即，解得，经检验，当时，为函数的极大值点，符合题意，此时，函数的定义域为，，由，解得或；由，解得，所以的增区间是，；减区间是，当时，；当时，；（3）令，，由，解得；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，作出函数的图象，如图所示：因为，即，所以，由图象知：\n当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，当时，，当时，，有两个零点21．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）若，且的极大值大于0，求实数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】(1)当时，，通过的导数，根据的范围讨论单调区间(2)由（1）中讨论结果及，且的极大值大于0，可通过分离参数转化为在上恒成立问题，构造函数令，通过求导（需二次求导）确定单调性确定实数的取值范围.（1）函数的定义域为，当时，，，①当时，在上，在上单调递增．②当时，令，得，在上，，在上，，在上单调递增，\n在上单调递减．综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知当时，有极大值为，设，，，即在上恒成立．令，，则，令，，则，令，得，在上，，在上，，在上单调递减，在上单调递增，的极小值，在上单调递增，，，的取值范围为．22．已知函数和函数.（1）求函数的极小值；（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由；（3）是否存在正实数使函数的极值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由.\n【答案】（1）（2）答案不唯一，理由见解析（3）存在，【解析】(1)求函数的导函数，再求导函数的零点，解析导函数零点两侧的导数取值的正负，由此确定函数的极小值，(2)求函数导函数，通过讨论确定的解的个数及解的大小关系，再判断在解的两侧的正负，由此确定函数的极值点的个数，(3)由(2)可得函数的极值情况，再由函数的极值为，列方程求的值.（1）∵函数，∴，由得即，得，即函数的单调增区间为．由得，即函数的单调递减区间为．极小值为；即；（2），当时，，又.①当时，由(1)得在上单调递增，且，，则存在唯一，使，当时，，故，当时，，故，当时，，故，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．②当时，由（1）得在上单调递增，且，当时，，故，当时，，故，此时函数无极值．\n③当时，由（1）得在上单调递增，且，，则存在唯一，使，当时，，故，当时，，故，当时，，故，故当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．综上：当时，有两个极值点，当时，无极值点．（3）由（2）知当时，，不存在符合题意的，当时，,所以①由得即②把②代入①得，整理得.记，，由知，所以在区间单调递减，又因为所以，此时符合题意.综上可知当时存在极值等于.
