课时训练15 导数的概念、几何意义及运算基础巩固组1.(2021辽宁实验中学高三月考)函数f(x)=-2ex图象的切线斜率为k,则k的最小值为( )A.-2B.-1C.1D.22.(2022辽宁大连高三月考)已知函数f(x)的导数是f'(x),且满足f(x)=f'cosx+2x,则f(0)=( )A.0B.1C.2D.43.(2021广东珠海高三月考)曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)-f(1)=( )A.0B.2C.-2D.-14.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=lnx;④f(x)=tanx,其中有“巧值点”的函数是( )A.①②B.①③C.①③④D.②④5.(2021四川成都高三二模)已知P是曲线y=-sinx(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为( )A.B.C.D.6.(2021湖南高三二模)已知函数f(x)=(x-1)ex,则f(x)在点(1,0)处的切线方程为 . 7.(2021福建三明高三二模)曲线y=lnx+ax与直线y=2x-1相切,则实数a= . 8.(2021辽宁高三二模)函数f(x)=(1-2x)5的导函数f'(x)展开式中x2的系数为 . 综合提升组9.(2021重庆高三三模)已知曲线C1:f(x)=ex+a和曲线C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,b∈R),若存在斜率为1的直线与C1,C2同时相切,则实数b的取值范围是( )\nA.-,+∞B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.-∞,10.若点P是曲线y=x2-lnx-1上任意一点,则点P到直线y=x-3的最小距离为( )A.1B.C.D.211.(2021山东淄博高三月考)已知函数f(x)=lnx+的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小值为( )A.-1B.0C.1D.212.(多选)(2021辽宁沈阳高三模拟)已知过点A(a,0)作曲线C:y=的切线有且仅有两条,则实数a的值可以是( )A.-2B.4C.0D.613.(2021湖南益阳高三一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=1,f(x)的导函数为f'(x),则f'(-2019)-f'(2021)= . 创新应用组14.(2021湖北荆门高三期末)曲线y=+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为( )A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+215.(2021新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是 . \n课时规范练15 导数的概念、几何意义及运算1.B 解析f(x)=-2ex⇒f'(x)=e2x-2ex⇒k=(ex-1)2-1,当ex=1,即x=0时,k有最小值,最小值为-1,故选B.2.B 解析因为f(x)=f'cosx+2x,所以f'(x)=-f'sinx+2,有f'=-f'sin+2,故f'=1,所以f(x)=cosx+2x,所以f(0)=1,故选B.3.C 解析设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,则解得所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x+2,所以f'(1)=1,f(1)=1+2=3,因此,f'(1)-f(1)=1-3=-2,故选C.4.B 解析①f(x)=x2,f'(x)=2x,x2=2x,x=0,x=2,有“巧值点”;②f(x)=e-x,f'(x)=-e-x,-e-x=e-x,此方程无解,无“巧值点”;③f(x)=lnx,f'(x)=,lnx=,令g(x)=lnx-,g(1)=-1<0,g(e)=1->0.由函数零点存在定理,得g(x)在区间(1,e)上必有零点,即f(x)有“巧值点”;④f(x)=tanx,f'(x)==tanx,sinxcosx=1,即sin2x=2,此方程无解,所以f(x)无“巧值点”.所以有“巧值点”的是①③,故选B.5.C 解析如图所示,若使得|PQ|取得最小值,则曲线y=-sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sinx求导得y'=-cosx,令y'=,可得cosx=-,由于0≤x≤π,解得x=,故选C.6.ex-y-e=0 解析因为f'(x)=xex,所以f'(1)=e,所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=e(x-1),即ex-y-e=0.\n7.1 解析y'=+a,设切点为P(x0,y0),则y'0=+a,因为曲线y=lnx+ax与直线y=2x-1相切,可得+a=2,即ax0=2x0-1,①又由y0=lnx0+ax0,即切点为(x0,lnx0+ax0),可得lnx0+ax0=2x0-1,②联立①②,可得x0=1,a=1.8.-240 解析因为f(x)=(1-2x)5,所以f'(x)=-10(1-2x)4,故展开式中x2的系数为-10(-2)2=-240.9.D 解析f'(x)=ex,g'(x)=(x>-b),设斜率为1的切线在C1,C2上的切点横坐标分别为x1,x2,由题知=1,即x1=0,x2=1-b,两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b),故a+1=a2-1+b,即b=2+a-a2=-a-2+,故选D.10.C 解析因为点P是曲线y=x2-lnx-1上任意一点,所以当点P处的切线和直线y=x-3平行时,点P到直线y=x-3的距离最小,因为直线y=x-3的斜率等于1,曲线y=x2-lnx-1的导数为y'=2x-,令y'=1,可得x=1或x=-(舍去),所以曲线y=x2-lnx-1与直线y=x-3平行的切线经过的切点坐标为(1,0),所以点P到直线y=x-3的最小距离为d=.故选C.11.B 解析函数f(x)=lnx+的定义域为(0,+∞),f'(x)=.设切点为(m,n),则k=,因为(m,n)为切点,所以lnm+=n,km+b=n,于是k+b=lnm-,m>0.记g(m)=lnm-,m>0,则g'(m)=(m-1)(m+2).当m>1时,g'(m)>0,g(m)单调递增;当0<m<1时,g'(m)<0,g(m)单调递减.所以当m=1时,g(m)取得最小值g(1)=ln1-=0,即\nk+b的最小值为0,故选B.12.AD 解析设切点为x0,,则y',所以切线方程为y-(x-x0),由切线过点A(a,0),代入得-(a-x0),即方程-ax0+a=0有两个不同的实数解,则有Δ=a2-4a>0,解得a>4或a<0,故选AD.13.0 解析因为f(x)+f(2-x)=1,两边同时求导,可得f'(x)-f'(2-x)=0,故f'(-2019)-f'(2021)=0.14.C 解析由题得y'=,设切点为(x0,y0),则y',而y'=1(x0≥0),则=cosx0-sinx0,令f(x)=ex-cosx+sinx(x≥0),则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+sinx+,∀x≥0,f'(x)>0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(0)=0,所以方程=cosx0-sinx0有且只有一个实数根x0=0,代入原函数得y0=+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.15.(0,1) 解析由题意,f(x)=|ex-1|=则f'(x)=所以A(x1,1-),B(x2,-1),kAM=-,kBN=,所以-=-1,x1+x2=0,x1<0,x2>0,所以AM:y-1+=-(x-x1),M(0,x1-+1),所以|AM|=·|x1|,同理|BN|=·|x2|,所以∈(0,1).故的取值范围是(0,1).
