2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第四单元指数函数与对数函数B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）下列函数中是增函数的为（）A．B．C．D．2．（2021·全国高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.63．（2020·海南高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．5．（2020·全国高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）\nA．60B．63C．66D．696．（2021·合肥市第六中学高三模拟（理））已知，则（）A．B．C．D．7．（2021·安徽高三模拟）已知函数，方程有两解，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2021·辽宁高三模拟）设函数，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·重庆高三模拟）已知函数，则（）A．函数与的图象关于直线对称B．函数与都为增函数，且都为偶函数C．函数与都为增函数，且都为奇函数D．为奇函数，既不是奇函数也不是偶函数10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数，下列说法正确的是（）A．的定义域为B．在定义域内单调递増\nC．不等式的解集为D．函数的图象关于直线对称11．（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．12．（2021·福建泉州市·高三二模）已知函数则正确的有（）A．B．C．当时，的最小值为2D．当时，的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟（理））已知，设函数，则______．14．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数，则不等式的解集为___________.15．（2021·广西高三模拟（理））已知函数，，以下命题：①若，则；\n②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的序号是______．16．已知函数，若有2个零点，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·全国高三模拟）已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．（1）写出的解析式：（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．18．“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定.（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b\n表示）.19．（2021·上海高三三模）已知函数为实常数.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.20．已知函数．（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．\n21．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．（1）若函数为“函数”，求实数的值；（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．22.已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数.（1）判断，与，是否是非减函数?（2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围；（3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）下列函数中是增函数的为（）A．B．C．D．【答案】D\n【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2021·全国高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.3．（2020·海南高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D\n4．（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.\n5．（2020·全国高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C.6．（2021·合肥市第六中学高三模拟（理））已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，所以.\n故选：A7．（2021·安徽高三模拟）已知函数，方程有两解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以且，当时，在时单调递增，所以；又在时单调递增，且，因为方程有两解，所以，所以；当时，在时单调递减，；又在时单调递增，，因为方程要有两解，所以，此时不成立.综上可得，故选：B.8．（2021·辽宁高三模拟）设函数，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：，定义域为，且，故函数\n为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·重庆高三模拟）已知函数，则（）A．函数与的图象关于直线对称B．函数与都为增函数，且都为偶函数C．函数与都为增函数，且都为奇函数D．为奇函数，既不是奇函数也不是偶函数【答案】AC【解析】，且，故为奇函数，排除B、D；，且，故为奇函数，∵、单调递增，故单调递增；、单调递增，故单调递增，∴C正确，若，即，则，∴，且与的定义域、值域均为R，即它们互为反函数，关于对称，即A正确.故选：AC10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数，下列说法正确的是\n（）A．的定义域为B．在定义域内单调递増C．不等式的解集为D．函数的图象关于直线对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则，故A正确；，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；令，解得，所以关于直线对称，故D正确.故选：AD11．（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．\nD．【答案】ABD【解析】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.12．（2021·福建泉州市·高三二模）已知函数则正确的有（）A．B．C．当时，的最小值为2D．当时，的最小值为1【答案】ABD【解析】由题意，，A正确；，B正确；时，，当时，是减函数，，无最小值，C错；时，（当且仅当时等号成立），时，时等号成立，所以此时的最小值为1，D正确．故选：ABD．\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟（理））已知，设函数，则______．【答案】5【解析】解：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]，，设，，则，在[0，1]上为增函数，∴当即时，，当即时，，∴．故答案为：5．14．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】函数定义域是，，是偶函数，时，是减函数，又，所以由得，且，解得且．故答案为：\n15．（2021·广西高三模拟（理））已知函数，，以下命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的序号是______．【答案】①②③．【解析】通过图像，即可对①②进行判断；当时，讨论和，得到的值范围．解：已知函数，，①∵由图像可得，在单调递减，在上单调递增，∴若，则，故①正确，②∵，，∴，故②正确，③当时，若时，则，若时，，即，∴，即，∴，，故③正确，④错误，故答案为：①②③．\n16．已知函数，若有2个零点，则______．【答案】【解析】令，则，问题转化为函数与的图象有两个交点，易知函数与的图象在上有1个交点，由，得，由，解得（舍去）．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·全国高三模拟）已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．（1）写出的解析式：（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，设是函数图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标为，因为已知点Q在函数的图象上，所以，而，所以，所以，\n而是函数图象上的点，所以．（2）当时，，下面求当时，的最小值，令，则，因为，即，解得，所以，又，所以，所以，所以时，的最小值为0，因为当时，总有成立，所以，即所求m的取值范围为．18．“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定.（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b\n表示）.【答案】（1）定义域为，在上单调递减，实际意义见解析，1.04；（2）.【解析】（1）要使函数有意义，则，又且，解得，所以，函数的定义域为；令，则.因为，所以当时，函数单调递减；又，所以在上单调递增，故在定义域上是减函数.其实际意义是：当该地区收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均值系数越大，弗格指数越小.将，，代入函数得，所以，用计算器可解得.（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则，即，又，所以，即，又，，所以，解得，即该地区收入均值系数的取值范围是.19．（2021·上海高三三模）已知函数为实常数.\n（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.【解析】解：（1）当时，即；故此时函数是奇函数；因当时，，故，且于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；由不等式，得，令因，故由于函数在单调递增，所以；因此，当不等式在上恒成立时，20．已知函数．（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．【答案】（1）；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．\n【解析】（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由，得，化简得，即，则∈[﹣1，1]，所以，函数f（x）的零点为；（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；又当a＝0时，，则；对任意x∈[﹣1，1]都成立，综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．21．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．（1）若函数为“函数”，求实数的值；（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）1.【解析】解：（1）由为“函数”，得\n即，解得，故实数的值为；（2）由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，使得，，即；由，得，整理得.①当时，，符合题意；②当时，由，即，解得且；综上，实数的取值范围是；（3）由为“函数”，得，即，从而，，不妨设，则由，即，得，令，则在区间上单调递增，又，\n22.已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数.（1）判断，与，是否是非减函数?（2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围；（3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值.【答案】（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；（2）；（3）.【解析】（1），所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则函数在区间上不是非减函数，当时，，所以，函数在区间上为非减函数；（2）任取、且，即，因为函数在上为非减函数，有，，，，，，则，则，，即，因此，实数的取值范围是；\n（3）由已知得，，得，从而，，所以，，因为函数为上的非减函数，对任意的，，即，所以，，，所以，，所以，，，则，因此，
