2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第一单元集合与常用逻辑用语B卷培优提能过关卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则()A.B.C.D.2.已知集合,,则()A.B.C.D.3.设集合,,则()A.B.C.D.4.等比数列的公比为q,前n项和为,设甲:,乙:是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.已知集合,则中元素的个数为()A.B.C.D.6.已知,,,则()A.或B.C.或D.7.下列说法错误的是( )A.“若x≠3,则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3=0,则x=3”B.“∀x∈R,x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R,x02﹣2x0﹣3=0”\nC.“x>3”是“x2﹣2x﹣3>0”的必要不充分条件D.“x<﹣1或x>3”是“x2﹣2x﹣3>0”的充要条件8.命题对任意,,则命题的否定是()A.当时,B.存在,使得C.存在,使得D.当时,二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若非空集合G和G上的二元运算“”满足:①,;②,对,:③,使,,有;④,,则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是()A.集合G为自然数集,“”为整数的加法运算B.集合G为正有理数集,“”为有理数的乘法运算C.集合(i为虚数单位),“”为复数的乘法运算D.集合,“”为求两整数之和被7除的余数10.已知集合,,则下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则或D.若时,则或11.下列叙述中正确的是()A.若则“"的充要条件是“”B.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件\nC.若则“对恒成立"的充要条件是“”D.“”是“”的充分不必要条件12.设集合,则对任意的整数,形如的数中,是集合中的元素的有A.B.C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知命题“”是假命题,则实数a的取值范围是________.14.已知集合U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},A={﹣1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=___________.15.已知集合,集合,若,则=_______16.设A是非空数集,若对任意,都有,则称A具有性质P.给出以下命题:①若A具有性质P,则A可以是有限集;②若具有性质P,且,则具有性质P;③若具有性质P,则具有性质P;④若A具有性质P,且,则不具有性质P.其中所有真命题的序号是___________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,,记,用表示有限集合的元素个数.(I)若,,,求;(II)若,,则对于任意的,是否都存在,使得?说明理由;\n(III)若,对于任意的,都存在,使得,求的最小值.18.已知,,其中.(1)若,则是的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.19.在①,②函数的图象经过点,③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:已知集合,,且_________,求.20.已知集合,,.(1)求,:(2)若,求实数m的取值范围.\n21.设为正整数,若满足:①;②对于,均有;则称具有性质.对于和,定义集合.(1)设,若具有性质,写出一个及相应的;(2)设和具有性质,那么是否可能为,若可能,写出一组和,若不可能,说明理由;(3)设和具有性质,对于给定的,求证:满足的有偶数个.22.已知数集.如果对任意的i,j(且),与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.(1)分别判断数集是否具有性质P,并说明理由:(2)设数集具有性质P.①若,证明:对任意都有是的因数;②证明:一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.\n1.设集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题设可得,故,故选:B.2.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得:,即.故选:B.3.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得:.故选:D.4.等比数列的公比为q,前n项和为,设甲:,乙:是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题,当数列为时,满足,但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若是递增数列,则必有成立,若\n不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立,所以甲是乙的必要条件.故选:B.5.已知集合,则中元素的个数为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可知,集合中的元素有:、、、、、、、、、、、、,共个.故选:D.6.已知,,,则()A.或B.C.或D.【答案】A【解析】因为或,所以或.故选:A.7.下列说法错误的是( )A.“若x≠3,则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3=0,则x=3”B.“∀x∈R,x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R,x02﹣2x0﹣3=0”C.“x>3”是“x2﹣2x﹣3>0”的必要不充分条件D.“x<﹣1或x>3”是“x2﹣2x﹣3>0”的充要条件【答案】C【解析】根据命题“若p则q”的逆否命题为“若则”,可知“若x≠3,则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3=0,则x=3”,即A正确;根据全称命题的否定是特称命题可知,“∀x∈R,x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R,x02﹣2x0﹣3=0,即B正确;不等式x2﹣2x﹣3>0的解为x<﹣1或x>3,故“x>3”可推出“x2﹣2x﹣3>0”,但“x2﹣2x﹣3>0”推不出“x>3”,即“x>3”是“x2﹣2x﹣3>0”的充分不必要条件,C错误,“x<﹣1或x>3”是“x2﹣2x﹣3>0”的充要条件,D正确.\n故选:C.8.命题对任意,,则命题的否定是()A.当时,B.存在,使得C.存在,使得D.当时,【答案】B【解析】由全称命题的否定可知,命题的否定为:存在,使得.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若非空集合G和G上的二元运算“”满足:①,;②,对,:③,使,,有;④,,则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是()A.集合G为自然数集,“”为整数的加法运算B.集合G为正有理数集,“”为有理数的乘法运算C.集合(i为虚数单位),“”为复数的乘法运算D.集合,“”为求两整数之和被7除的余数【答案】BCD【解析】A.时,不满足③,若,则由得,若,则在中设,由得,所以不能构成群;B.G为正有理数集,①任意两个正有理数的积仍然为正有理数,②显然,对任意,,③对任意正有理数,也是正有理数,且,即\n,④有理数的乘数满足结合律,B中可构造群;C.(i为虚数单位),①可验证中任意两数(可相等)的乘积仍然属于;②,满足任意,有;③,满足任意,存在,有,实质上有;④复数的乘法运算满足结合律,C中可构造群;D.,①任意两个整数的和不是整数,它除以7的余数一定属于,②,满足对任意,,③,,,除以7余数为0;④加法满足交换律,又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数,因此,,D中可构造群;故选:BCD.10.已知集合,,则下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则或D.若时,则或【答案】ABC【解析】,若,则,且,故A正确.时,,故D不正确.若,则且,解得,故B正确.当时,,解得或,故C正确.故选:ABC.11.下列叙述中正确的是()A.若则“"的充要条件是“”B.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件\nC.若则“对恒成立"的充要条件是“”D.“”是“”的充分不必要条件【答案】BD【解析】对于A,因为可得,当,时,有,所以若则“"是“”的充分不必要条件,故A错;对于B,方程有一个正根和一个负根,则,整理得,所以“”是“”的必要不充分条件,故B正确;对于C,当时,“对恒成立"的充要条件是“”,故C错;对于D,当“”是“”成立,当“”得“或”,故“”是“”的充分不必要条件,D正确.故选:BD12.设集合,则对任意的整数,形如的数中,是集合中的元素的有A.B.C.D.【答案】ABD【解析】∵,∴.∵,∴.∵,∴.若,则存在使得,则和的奇偶性相同.若和都是奇数,则为奇数,而是偶数,不成立;若和都是偶数,则能被4整除,而不能被4整除,不成立,\n∴.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知命题“”是假命题,则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】由题意知“”为真命题,所以,解得0<a<3.故答案为:.14.已知集合U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},A={﹣1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=___________.【答案】{﹣2,3}【解析】解:∵U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},A={﹣1,0,1},B={1,2},∴A∪B={﹣1,0,1,2},∁U(A∪B)={﹣2,3}.故答案为:{﹣2,3}.15.已知集合,集合,若,则=_______【答案】4;【解析】因为,所以,因为集合,集合,所以,故答案为:4.16.设A是非空数集,若对任意,都有,则称A具有性质P.给出以下命题:①若A具有性质P,则A可以是有限集;②若具有性质P,且,则具有性质P;③若具有性质P,则具有性质P;\n④若A具有性质P,且,则不具有性质P.其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】对于①,取集合具有性质P,故A可以是有限集,故①正确;对于②,取,则,,,,又具有性质P,,,,所以具有性质P,故②正确;对于③,取,,,,但,故③错误;对于④,假设具有性质P,即对任意,都有,即对任意,都有,举反例,取,,但,故假设不成立,故④正确;故答案为:①②④四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,,记,用表示有限集合的元素个数.(I)若,,,求;(II)若,,则对于任意的,是否都存在,使得?说明理由;(III)若,对于任意的,都存在,使得,求的最小值.【答案】(I),或,或;(II)不一定存在,见解析;(III)11.【解析】(I)若,则,其中,否则\n,又,,,则相差2,所以,或,或;(II)不一定存在,当时,,则相差不可能1,2,3,4,5,6,这与矛盾,故不都存在T.(III)因为,故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种,当时,结论都成立;当时,不存在,,使得A中任意两个元素差不同,所以当时,结论成立;当时,若,则不存在T,所以的最小值为11.18.已知,,其中.(1)若,则是的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1)充分不必要条件;(2).【解析】关于由,解得,关于由,,解得,(1)当时,,则,,是的充分不必要条件;(2)是的充分不必要条件,\n是的充分不必要条件由(1),,则或或故实数的取值范围.19.在①,②函数的图象经过点,③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:已知集合,,且_________,求.【答案】选择见解析;.【解析】选择①,因为,所以,又因为,所以.因为,所以.选择②,将的坐标代入,解得,故,因为,所以.选择③,且,解得或(舍去),故.\n因为,所以.20.已知集合,,.(1)求,:(2)若,求实数m的取值范围.【答案】(1);;(2).【解析】(1);(2)因为,所以.当时,,即;当时,,即综上,21.设为正整数,若满足:①;②对于,均有;则称具有性质.对于和,定义集合.(1)设,若具有性质,写出一个及相应的;(2)设和具有性质,那么是否可能为,若可能,写出一组和,若不可能,说明理由;(3)设和具有性质,对于给定的,求证:满足的有偶数个.【答案】(1)答案见解析(2)不存在,理由见解析(3)证明见解析【解析】(1),;,;\n,;;,.(2)假设存在和均具有性质,且,则,因为与同奇同偶,所以与同奇同偶,又因为为奇数,为偶数,这与与同奇同偶矛盾,所以假设不成立.综上所述:不存在具有性质的和,满足.(3)不妨设与构成一个数表,交换数表中的两行,可得数表,调整数表各列的顺序,使第一行变为,设第二行变为,令,则具有性质,且,假设与相同,\n则,不妨设,,则有,故,因为,所以,因为,所以,与矛盾.故对于具有性质的,若具有性质,且,则存在一个具有性质的,使得,且与不同,并且由的构造过程可以知道,当,确定时,唯一确定,由也仅能构造出.所以满足的有偶数个.22.已知数集.如果对任意的i,j(且),与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.(1)分别判断数集是否具有性质P,并说明理由:(2)设数集具有性质P.①若,证明:对任意都有是的因数;②证明:.【答案】(1)都具有性质P,理由见解析;(2)①证明见解析,②证明见解析.【解析】(1)都具有性质P,对于数集,有,;,;\n,;∴根据定义知:具有性质P,对于数集,有,;,;,;,;,;,;∴根据定义知:具有性质P.(2)①具有性质P,对任意有与至少有一个属于A,∵,∴当有,若,此时且,是的因数;当有,若,此时是的因数;综上,对任意都有是的因数,得证.②若对任意有与至少有一个属于A,∵,在任取一个,则,若则,∴必有,又时,均不相等,即可以取到所有元素且各一次,\n∴,即得证