2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第六单元平面向量及其应用A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．，是半径为1的圆的两条直径，，则（）A．B．C．D．2．在中，，则此三角形（）A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定3．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（）A．B．C．D．4．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．5．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．B．或C．D．或6．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（）\nA．B．C．D．7．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A．B．C．D．8．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．\n9．在中，角的对边分别为，若，则角可为（）A．B．C．D．10．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（）A．B．C．D．11．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=012．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．在方向上的投影为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，，那么向量与的夹角余弦值为_________．\n14．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则_________．15．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为__海里．16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人体息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区（区域）和沙坑滑梯区（区域），其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．（1）若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；（2）问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？\n18．已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．19．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设（1）试用a，b表示（2）证明：B，E，F三点共线．20．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．\n（1）试用，表示向量；（2）设，，求证：是定值．21．已知．（1）当为何值时，与共线？（2）若且A，B，C三点共线，求m的值．22．设，点P是直线上的一个动点，.若，求实数的取值范围\n一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．，是半径为1的圆的两条直径，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，，是半径为1的圆的两条直径，且，即为的中点，则，故选：B.2．在中，，则此三角形（）A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定【答案】C【解析】由正弦定理可知：，因为，所以，又因为，所以，或，因此此三角形有两解，故选：C3．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（）A．B．C．D．\n【答案】C【解析】因为为单位向量，不妨设，且，所以，又因为，所以，化简得，所以，，，当时，，故选：C4．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由及余弦定理，可得正弦定理边化角，得\n是锐角三角形，，即．，，那么：则，故选：5．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，，，，即.由于，所以.故选：C6．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（）\nA．B．C．D．【答案】D【解析】在中，根据正弦定理得，由，所以，所以，所以，则，所以，在中，由余弦定理得，所以．故选：D．7．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）\nA．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知：，所以在中，，在中，由正弦定理得所以，在中，故选：D8．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以，整理得，\n所以，因为，所以，所以，解得.所以的最大值为故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在中，角的对边分别为，若，则角可为（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由余弦定理得：，又，，整理可得：；对于A，，则，A错误；对于B，，则，B正确；对于C，，则，C正确；对于D，，则，D错误.故选：BC.10．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（）\nA．B．C．D．【答案】BD【解析】解：，点在边上，，故选：．11．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.故选:BC.12．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且\n，，与交于点，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．在方向上的投影为【答案】BCD【解析】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，，所以选项A错误；，，在方向上的投影为，所以选项D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．\n13．已知向量，，，那么向量与的夹角余弦值为_________．【答案】【解析】因为，所以向量与的夹角余弦值为．故答案为：．14．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则_________．【答案】【解析】因为点，，所以，又向量，所以在向量上的投影，所以因为，所以，故答案为：15．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为__海里．\n【答案】【解析】由题意知，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，所以，为等腰直角三角形，则，在中，由余弦定理可得（海里）.故答案为：．16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是___________.【答案】9【解析】对已知等式进行角化边可得：，因为，所以，即，因为，，所以，所以，即，当且仅当时，，所以，即的周长的最大值为9.故答案为：9.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人体息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区（区域）和沙坑滑梯区（区域），其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．\n（1）若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；（2）问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？【答案】（1），其中；（2）当，儿童游玩区的面积最大，最大值为.【解析】（1），，在中，，，，，由余弦定理可得，所以，，其中；（2），，所以，，，则，当时，即当时，四边形的面积取最大值.18．已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．\n【答案】（1）k＝－；（2）m＝.【解析】(1)＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为与共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．因为A，B，C三点共线，所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.19．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设（1）试用a，b表示（2）证明：B，E，F三点共线．【答案】（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）证明见解析.【解析】(1)由题意，得＝b－a，＝a＋(b－a)＝a＋b，＝－a＋b.\n(2)因为＝－a＋b，＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，所以，所以与共线．又与有公共点B，所以B，E，F三点共线．20．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．（1）试用，表示向量；（2）设，，求证：是定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，又，故，由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，又，故，由题意，，不共线，则：\n，解得，故；（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，则：，由（1）知，，则：，即，所以，所以是定值．21．已知．（1）当为何值时，与共线？（2）若且A，B，C三点共线，求m的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，，因为与共线，所以，即，解得.（2）因为A，B，C三点共线，所以，即，所以，解得.\n22．设，点P是直线上的一个动点，.若，求实数的取值范围.【答案】【解析】设，则由可得，则可解得，则，，，则可得，解得
